Как найти массу груза на пружине формула

Время на чтение: 11 минут

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики. 

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости. 

Приняты следующие обозначения:

  • m — масса тела;
  • k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Как найти массу груза на пружине формула

Особенностями пружинных маятников являются:

  1. Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

  2. У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

  3. Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

  4. Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

  5. От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Как найти массу груза на пружине формула

Существует два типа данной системы:

  1. Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

  2. Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Как найти массу груза на пружине формула

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её. 

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

  • Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:
  • Fупр = — k*x
  • где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),
  • x – смещение (м).

Уравнения колебаний пружинного маятника

  1. Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

     

  2. Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:
  3. F(t) = ma(t) = — mw2x(t),
  4. где w — радиальная частота гармонического колебания.

  5. Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Как найти массу груза на пружине формула

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Как найти массу груза на пружине формула

  • Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Как найти массу груза на пружине формула

Факторы, от которых зависит частота:

  1. Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

  2. Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

  1. Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника. 
  2. В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Как найти массу груза на пружине формула

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Как найти массу груза на пружине формула

  • Потенциальная энергия:
  1. Кинетическая энергия:
  • Полная энергия:

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

  1. Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

  2. В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

  3. Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника 

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

Формулы пружинного маятника в физике

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Как найти массу груза на пружине формула

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1
ight),]

  • где ${щu}^2_0=frac{k}{m}$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:
  • где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ — начальные фазы колебаний.
  • В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1
ight) } }left(2
ight),] [Re ilde{x}=Releft(Acdot exp left(ileft({omega }_0t+varphi
ight)
ight)
ight)left(3
ight).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}}left(4
ight).]

Так как частота колебаний ($
u $) — величина обратная к периоду, то:

[
u =frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}left(5
ight).]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

  1. Амплитуду можно найти как:
  2. начальная фаза при этом:
  3. где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

[A=sqrt{x^2_0+frac{v^2_0}{{omega }^2_0}}left(6
ight),] [tg varphi =-frac{v_0}{x_0{omega }_0}left(7
ight),]

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

[E_p=-frac{dF}{dx}(8)]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

Как найти массу груза на пружине формула

  • тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:
  • Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:
  • где $dot{x}=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac{m{dot{x}}^2}{2}$ — кинетическая энергия маятника.
  • Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}left(9
ight).] [frac{m{dot{x}}^2}{2}+frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}=const left(10
ight),]

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

Как найти массу груза на пружине формула

  1. По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:
  2. где $E_{pmax}$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax }$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.
  3. Потенциальная энергия равна:

[E_{pmax}=E_{kmax }left(1.1
ight),] [E_{kmax }=frac{mv^2}{2}left(1.2
ight).] [E_{pmax}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.3
ight).]

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

[frac{mv^2}{2}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.4
ight).]

  • Из (1.4) выразим искомую величину:
  • Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:
  • Ответ. $x_0=1,5$ мм

[x_0=vsqrt{frac{m}{k}}.] [x_0=1cdot sqrt{frac{0,36}{1600}}=1,5 cdot {10}^{-3}(м).]

Пример 2

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{cos left(omega t
ight), } $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$.
В какой момент времени это произойдет?

  1. Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:
  2. Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:
  3. В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:
  4. Ответ. $t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}
    ight) }$

[F=-kx=-kA{cos left(omega t
ight)left(2.1
ight). }] [E_p=frac{kx^2}{2}=frac{kA^2{{cos }^2 left(omega t
ight) }}{2}left(2.2
ight).] [frac{E_{p0}}{F_0}=-frac{A}{2}{cos left(omega t
ight) } o t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}
ight) }.]

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

Как найти массу груза на пружине формула

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Свободные колебания. Пружинный маятник

Определение 1

  • Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.
  • Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.
  • F(t)=ma(t)=-mω2x(t).

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

Fупр=-kx.

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой m, прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2.2.1, составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Определение 3

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Как найти массу груза на пружине формула

Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

  1. Нахождение круговой частоты ω0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:
  2. ma=-kx=mω02x.
  3. Значит, получаем:
  4. ω0=km.

Определение 4

Частоту ω0 называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T=2πω0=2πmk.

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x0=mgk, тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

a(t)=x(t).

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

ma-mx=-kx, или x¨+ω02x=0, где свободная частота ω02=km.

Если физические системы зависят от формулы x¨+ω02x=0, тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x=xmcos (ωt+φ0).

Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Свободные колебания

Определение 6

Уравнение вида x¨+ω02x=0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω0 или период Т.

Амплитуда xm и начальная фаза φ0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆l и моменте времени, равном t=0, производится его опускание без начальной скорости. Тогда xm=∆l, φ0=0. Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ±υ0, отсюда xm=mkυ0, φ0=±π2.

Амплитуда xm с начальной фазой φ0 определяются наличием начальных условий.

Как найти массу груза на пружине формула

Рисунок 2.2.2. Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2.2.2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ, тогда возникает момент силы упругой деформации кручения Mупр:

Mупр=-xθ.

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

  • Iε=Mупр=-xθ или Iθ¨=-xθ, где моментом инерции обозначается I=IC, а ε – угловое ускорение.
  • Аналогично с формулой пружинного маятника:
  • ω0=xI, T=2πIx.

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Как найти массу груза на пружине формула

Рисунок 2.2.3. Крутильный маятник.

Физика. 11 класс

Груз, подвешенный на нити, колеблющийся в поле тяжести Земли, а также груз, прикрепленный к пружине — примеры наиболее простых механических колебательных систем. Рассмотрим физические процессы, происходящие в таких системах.

Совокупность нескольких тел образуют механическую систему. Тела, не входящие в систему, называются внешними.Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое телом под действием приложенных к нему сил, обратно пропорционально массе тела, направлено по результирующей этих сил и прямо пропорционально ее модулю:

  • Закон Гука: при упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины тела:

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела. Направление силы упругости всегда противоположно направлению смещения при деформации.

Какие условия необходимы для возникновения колебаний?

Результаты опытов показывают, что для возникновения и существования механических колебаний тело изначально необходимо привести в движение.

Это можно сделать, отклоняя его от положения равновесия или придавая ему начальную скорость посредством толчка. Этим отклонением или толчком определяется амплитуда колебаний.

Кроме того, при выведении тела из положения равновесия в колеблющейся системе должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.

Простейшая колебательная система, состоящая из тела с прикрепленной к нему пружиной, связывающей тело и опору, называется пружинным маятником. Пружина может располагаться как горизонтально (горизонтальный пружинный маятник), так и вертикально (вертикальный пружинный маятник).

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника.Как найти массу груза на пружине формула

Пусть тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплено к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 13, а). Второй конец пружины прикреплен к неподвижной опоре.

 Выведем тело из положения равновесия, сместив его, например, вправо на расстояние x (см. рис. 13, б). При этом согласно закону Гука возникнет сила упругости  приложенная к телу и направленная влево.

Согласно второму закону Ньютона будет выполняться равенство:   

(1)

С учетом закона Гука из (1) получаем уравнение для проекций величин на ось Ox (см. рис. 13, б):

.
(2) 

Согласно (2) ускорение тела массой m пропорционально действующей силе и направлено к положению равновесия. При этом возникают колебания тела. Каждые полпериода направление движения меняется на противоположное. Смещение груза происходит то вправо, то влево относительно положения равновесия, т. е. оно меняет знак. Следовательно, и сила согласно (2) тоже меняет знак.

Перепишем полученное соотношение (2) в виде:

     

.

  

(3)

Уравнение (3) называется уравнением гармонических колебаний пружинного маятника.Следовательно, необходимым условием возникновения гармонических колебаний является действие возвращающей силы, направленной к положению равновесия и прямо пропорциональной смещению тела от положения равновесия.

Эта возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, о чем «говорит» минус в уравнении (2).В положении равновесия возвращающая сила равна нулю ( = 0), так как x = 0. Поэтому если в этом положении колеблющееся тело остановить, то колебания исчезнут.

Расчеты показывают, а результаты экспериментов подтверждают, что при описанных условиях тело будет совершать колебания с периодом:

.
(4)

С учетом того, что период связан с циклической частотой соотношением  , находим:

. (5)

Как найти массу груза на пружине формула

Из формул (4) и (5) следует, что период и частота гармонических колебаний пружинного маятника определяются массой груза m и жесткостью пружины k и не зависят от амплитуды его колебаний.

Отметим, что период и циклическая частота колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 14) также определяются по формулам (4) и (5).

Одной из наиболее распространенных колебательных систем является математический маятник.

Математическим маятником называется небольшое тело массой m, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной l, находящееся в поле силы тяжести (рис. 15).

Рассмотрим колебания математического маятника.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом α (рис. 16), который нить образует с вертикалью. После отклонения маятника от положения равновесия на него действуют две силы: направленная вертикально вниз сила тяжести  и направленная вдоль нити сила упругости   .

  Под действием этих сил тело движется ускоренно к положению равновесия (точка B). Пройдя точку B, тело продолжает двигаться, но его скорость постепенно уменьшается, обращаясь в нуль в точке, симметричной точке А относительно вертикали. После этого оно начинает двигаться обратно к точке B.

Согласно второму закону Ньютона для движения маятника можем записать: 

(6)

В проекциях на выбранные оси координат Ox и  Oy (см. рис. 16) получаем: 

, (7)
(8)
  1. Поскольку при малых углах отклонения длина дуги АВ ≈ х, то из ΔAOD находим:
  2. ,
  3. где х — отклонение маятника от положения равновесия, l — длина маятника. Подставляя выражение для синуса в (7), получим:
(9)

Таким образом, силой, возвращающей маятник к устойчивому положению равновесия при колебаниях, являются силы упругости его нити и силы тяжести.При малых углах отклонения маятника проекция вектора ускорения  и ей можно пренебречь, а , тогда из уравнения (8) следует Следовательно, уравнение движения маятника вдоль оси Ox запишется в виде:

.

где — проекция ускорения, сообщаемого грузу маятника силой упругости нити.Откуда получаем уравнение колебаний математического маятника:

.
(10)

Сравнивая соотношения (10), (3) и (5), легко получить формулу для циклической частоты математического маятника в поле тяжести Земли:

. (11)

Период малых колебаний математического маятника  в поле тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

(12)

Используя соотношения (5) и (11), уравнение колебаний пружинного маятника  и математического маятника   можно записать в одинаковом виде:

.
(13)

Таким образом, зависимости координат от времени x(t), описываемые уравнениями (5) и (6) из  § 1, удовлетворяют уравнению (13), которое называется уравнением гармонических колебаний.

Как видно из формул (11), (12), период и циклическая частота малых колебаний математического маятника не зависят от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяются только его длиной и ускорением свободного падения.

Галилео Галилей первый экспериментально определил, что период малых колебаний () математического маятника длиной l в поле силы тяжести не зависит от его массы m и амплитуды колебаний (угла начального отклонения a).

Одним из важнейших достижений Х. Гюйгенса было изобретение часов с маятником. Он запатентовал свое изобретение 16 июля 1657 г. В 1673 г. вышло в свет его сочинение «Маятниковые часы», в котором были изложены теоретические основы его изобретения. Именно постоянство периода (частоты) колебаний маятника позволило использовать его для создания часов.

  • Если маятник приобретает дополнительное ускорение , обусловленное, например, ускоренным движением точки подвеса, то при этом будет изменяться сила упругости нити. В таком случае период колебаний маятника будет определяться по формуле:
  • где  — «эффективное ускорение», равное векторной разности .

Повышенный интерес к гармоническим колебаниям объясняется тем, что они широко распространены в науке и технике (маятники, музыкальные инструменты, свет, переменные токи и т. д.).

Кроме того, гармонические колебания имеют простое математическое описание, а их период не зависит от амплитуды.

Подчеркнем, что любое периодическое движение можно рассматривать как результат наложения простых гармонических составляющих.

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов εσος (изос) — равный и χρονος (хронос) — время). Следовательно, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности. Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения груза, подвешенного на нити.

В 1807 г. французский физик Жан Батист Жозеф Фурье (1768—1830) показал, что любой периодический процесс, каким бы сложным он ни был, может быть разложен на составляющие его гармонические сигналы. В качестве примера приведем моделирование прямоугольного сигнала в виде суммы гармонических сигналов с кратными частотами в отношении 1:3:5:7…. (рис. 16-1). Чем больше сигналов разных частот складываются, тем точнее форма конечного сигнала будет соответствовать исходной прямоугольного сигнала. Сигналы прямоугольной формы широко используются для проверки динамиков, микрофонов. 

Механические колебания

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний 
u — это величина, обратная периоду: 
u =1/T. Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Гармонические колебания

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

  • Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:
  • (1)
  • Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

  1. (2)
  2. (3)
  3. Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).
  4. В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):
  5. .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

.

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

Уравнение гармонических колебаний

  • Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:
  • . (4)
  • Теперь дифференцируем полученное равенство (4):
  • . (5)
  • Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :
  • . (6)
  • Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:
  • . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением.

Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

  1. Тогда соотношение (8) принимает вид:
  2. или
  3. .
  4. Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
  5. .
  6. Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:
  7. . (9)
  8. Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:
  9. . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

Математический маятник

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

  • Запишем для маятника второй закон Ньютона:
  • ,
  • и спроектируем его на ось :
  • .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

  1. .
  2. Итак, при любом положении маятника имеем:
  3. . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

  • ,
  • или
  • .
  • Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
  • .
  • Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:
  • . (12)
  • Отсюда период колебаний математического маятника:
  • . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Свободные и вынужденные колебания

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания
  1. Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).
  2. Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
  3. .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний.

Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими.

Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний.

Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе.

При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector