Определение длины стороны правильного многоугольника по радиусу вписанной окружности
От нашего нового пользователя поступил вот такой запрос: «Калькулятор должен вычислять длину стороны правильного многоугольника (шестиугольник, пятигольник) по указанному диаметру (или радиусу) описанной окружности».
Удовлетворяем запрос оперативно. Заметим, что для решения задачи нужно найти длину третьей стороны треугольника, исходящего из центра описанной окружности и опирающегося на две соседние вершины правильного многоугольника.
Про этот треугольник известно многое: длины двух сторон — это радиусы описанной окружности, и угол, как нетрудно заметить, — это 360, деленное на число вершин правильного многоугольника. Далее используется соотношение из теоремы синусов — две стороны относятся друг к другу также как и синусы противолежащих им углов.
Поскольку треугольник равнобедренный и сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, угол, противолежащий радиусу вычисляется тривиально. Результат — ниже.
Сторона правильного шестиугольника. Калькулятор и формулы
Определить сторону правильного шестиугольника можно легко при помощи этого калькулятора. Просто заполните любую ячейку, введя известное вам значение, – и под калькулятором отобразятся значения всех недостающих величин, а также формулы их нахождения. Это удобная шпаргалка по геометрии, которую полезно всегда держать под рукой!
Введите данные:
Достаточно ввести только одно значение, остальное калькулятор посчитает сам.
Шестигранник вписанный в окружность формулы
Если у шестиугольника как углы, так и стороны равны, соответственно, это — правильный многоугольник, вокруг которого можно описать лишь одну окружность. Все вершины шестиугольника лежат на описанной вокруг него окружности. У правильного шестиугольника центр расположен на равном расстоянии от его вершин.
Центр шестиугольника и центр описанной окружности совпадают. Линия, которая соединяет центр с вершинами, считается радиусом как многоугольника, так и описанной окружности. В правильном шестиугольнике сторона и радиус равны.
Отсюда, R описанной окружности равняется его стороне или диагонали, поделенной пополам:
- В данном выражении: а — величина стороны шестиугольника; R — величина радиуса;
- d — диагональ.
Онлайн калькулятор поможет быстро и правильно найти величину радиуса, для этого вам нужно лишь занести исходные данные.
Определение и построение
Правильным шестиугольником называется плоскостная фигура, имеющая шесть равных по длине сторон и столько же равных углов.
Если вспомнить формулу суммы углов многоугольника
то получается, что в этой фигуре она равна 720°. Ну а поскольку все углы фигуры равны, нетрудно посчитать, что каждый из них равен 120°.
- Начертить шестиугольник очень просто, для этого достаточно циркуля и линейки.
- Пошаговая инструкция будет выглядеть так:
чертится прямая линия и на ней ставится точка;- из этой точки строится окружность (она является ее центром);
- из мест пересечения окружности с линией строятся еще две таких же, они должны сойтись в центре.
- после этого отрезками последовательно соединяются все точки на первой окружности.
- При желании можно обойтись и без линии, начертив пять равных по радиусу окружностей.
- Полученная таким образом фигура будет правильным шестиугольником, и это можно доказать ниже.
Свойства простые и интересные
Чтобы понять свойства правильного шестиугольника, его имеет смысл разбить на шесть треугольников:
Это поможет в дальнейшем нагляднее отобразить его свойства, главные из которых:
- диаметр описанной окружности;
- диаметр вписанной окружности;
- площадь;
- периметр.
Описанная окружность и возможность построения
Углы между стороной гексагона и биссектрисами будут по 60°, поэтому можно определенно сказать, что треугольник, к примеру, АОВ — равнобедренный. А поскольку третий угол тоже будет равен 60°, то он еще и равносторонний. Отсюда следует, что отрезки ОА и ОВ равны, значит, могут служить радиусом окружности.
После этого можно перейти к следующей стороне, и из угла при точке С тоже вывести биссектрису.
Получится очередной равносторонний треугольник, причем сторона АВ будет общей сразу для двух, а ОС — очередным радиусом, через который идет та же окружность.
Всего таких треугольников получится шесть, и у них будет общая вершина в точке О. Получается, что описать окружность будет можно, и она всего одна, а ее радиус равен стороне гексагона:
- R=а.
- Именно поэтому и возможно построение этой фигуры с помощью циркуля и линейки.
- Ну а площадь этой окружности будет стандартная:
- S=πR²
Вписанная окружность
- Высота равностороннего треугольника вычисляется просто:
- h²=а²-(а/2)²= а²3/4, h=а(√3)/2
- А поскольку R=a и r=h, то получается, что
- r=R(√3)/2.
- Таким образом, вписанная окружность проходит через центры сторон правильного шестиугольника.
- Ее площадь будет составлять:
- S=3πa²/4,
- то есть три четверти от описанной.
Периметр и площадь
С периметром все ясно, это сумма длин сторон:
P=6а, или P=6R
А вот площадь будет равна сумме всех шести треугольников, на которые можно разбить гексагон. Поскольку площадь треугольника вычисляется как половина произведения основания на высоту, то:
- S=6(а/2)(а(√3)/2)= 6а²(√3)/4=3а²(√3)/2 или
- S=3R²(√3)/2
- Желающим вычислять эту площадь через радиус вписанной окружности можно сделать и так:
Занимательные построения
В гексагон можно вписать треугольник, стороны которого будут соединять вершины через одну:
Всего их получится два, и их наложение друг на друга даст звезду Давида. Каждый из этих треугольников — равносторонний. В этом нетрудно убедиться. Если посмотреть на сторону АС, то она принадлежит сразу двум треугольникам — ВАС и АЕС. Если в первом из них АВ=ВС, а угол между ними 120°, то каждый из оставшихся будет 30°. Отсюда можно сделать закономерные выводы:
- Высота АВС из вершины В будет равна половине стороны шестиугольника, поскольку sin30°=1/2. Желающим убедиться в этом можно посоветовать пересчитать по теореме Пифагора, она здесь подходит как нельзя лучше.
- Сторона АС будет равна двум радиусам вписанной окружности, что опять-таки вычисляется по той же теореме. То есть АС=2(a(√3)/2)=а(√3).
- Треугольники АВС, СДЕ и АЕF равны по двум сторонам и углу между ними, и отсюда вытекает равенство сторон АС, СЕ и ЕА.
Пересекаясь друг с другом, треугольники образуют новый гексагон, и он тоже правильный. Доказывается это просто:
Угол АВF равен углу ВАС. Таким образом, получившийся треугольник с основанием АВ и безымянной вершиной напротив него — равнобедренный.- Все такие же треугольники, основанием которых служит сторона гексагона, равны по стороне и прилегающей к ней углам.
- Треугольники при вершинах гексагона являются равносторонними и равными, что вытекает из предыдущего пункта.
- Углы новообразованного шестиугольника равняются 360-120-60-60=120°.
- Таким образом, фигура отвечает признакам правильного шестиугольника — у нее шесть равных сторон и углов. Из равенства треугольников при вершинах легко вывести длину стороны нового гексагона:
- d=а(√3)/3
Она же будет радиусом описанной вокруг него окружности. Радиус вписанной будет вдвое меньше стороны большого шестиугольника, что было доказано при рассмотрении треугольника АВС. Его высота составляет как раз половину стороны, следовательно, вторая половина — это радиус вписанной в маленький гексагон окружности:
r₂=а/2
Площадь нового шестиугольника можно посчитать так:
Получается, что площадь гексагона внутри звезды Давида в три раза меньше, чем у большого, в который вписана звезда.
От теории к практике
Нашла свое применение и гексагональная плитка. Она распространена куда меньше четырехугольной, но класть ее удобнее: в одной точке смыкаются три плитки, а не четыре. Композиции могут получаться очень интересные:
Выпускается и бетонная плитка для мощения.
Распространенность гексагона в природе объясняется просто. Таким образом, проще всего плотно уместить круги и шары на плоскости, если у них одинаковый диаметр. Из-за этого у пчелиных сот такая форма.
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник? Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
- Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .
- Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
- , где — сторона правильного шестиугольника.
- Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне. Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти. Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
Радиус такой окружности равен .
. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
- Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
- Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)
Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.
- Обучающее видео БЕСПЛАТНО
- Техническая поддержка: [email protected] (круглосуточно)
Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!
Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.
Все поля обязательны для заполнения
Премиум
Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.
Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса – от 3,5 до 4,5 часов.
- Уравнения (задача 13)
- Стереометрия (задача 14)
- Неравенства (задача 15)
- Геометрия (задача 16)
- Финансовая математика (задача 17)
- Параметры (задача 18)
- Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).
Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.
Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум – репетитор-профессионал Анна Малкова.
Получи пятерку
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия.
Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля – до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная.
База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.
Задачи комплекта «Математические тренинги – 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.
Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.
Как пользоваться?
- Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
- Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
- Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает.
Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
- Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
- Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.
Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» – всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.
http://calcon.ru/storona-pravilnogo-shestiugolnika-kalkulyator-i-formuly/
http://morflot.su/shestigrannik-vpisannyj-v-okruzhnost-formuly/
Правильные многоугольники
| О нас |
| Демоверсии |
| Учебные пособия |
| Справочник по математике |
| Справочник по математике | Геометрия (Планиметрия) | Многоугольники |
Фигуру называют выпуклой, если для любых двух точек этой фигуры соединяющий их отрезок полностью принадлежит фигуре.
Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.
Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.
Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.
Замечание 3. Центры вписанной в правильный многоугольник окружности и описанной около правильного многоугольника окружности совпадают. Эту точку называют центром правильного многоугольника.
Используемые обозначения
| Число вершин правильного многоугольника | Сторона правильного многоугольника | Радиус вписанной окружности | Радиус описанной окружности | Периметр | Площадь |
| n | a | r | R | P | S |
| Число вершин правильного многоугольника | n |
| Сторона правильного многоугольника | a |
| Радиус вписанной окружности | r |
| Радиус описанной окружности | R |
| Периметр | P |
| Площадь | S |
Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника
| Величина | Рисунок | Формула | Описание |
| Периметр |  |
P = an | Выражение периметра через сторону |
| Площадь |  |
Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности | |
| Площадь |  |
Выражение площади через сторону | |
| Сторона | Выражение стороны через радиус вписанной окружности | ||
| Периметр | Выражение периметра через радиус вписанной окружности | ||
| Площадь | Выражение площади через радиус вписанной окружности | ||
| Сторона |  |
Выражение стороны через радиус описанной окружности | |
| Периметр |  |
Выражение периметра через радиус описанной окружности | |
| Площадь |  |
Выражение площади через радиус описанной окружности |
| Формулы для периметра правильного n – угольника |
Выражение периметра через сторонуP = anВыражение периметра через радиус вписанной окружности
|
| Формулы для площади правильного n – угольника |
|
| Формулы для стороны правильного n – угольника |
|
Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
| Величина | Рисунок | Формула | Описание |
| Периметр | P = 3a | Выражение периметра через сторону | |
| Площадь | Посмотреть вывод формулы | Выражение площади через сторону | |
| Площадь | Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности | ||
| Сторона | Выражение стороны через радиус вписанной окружности | ||
| Периметр | Выражение периметра через радиус вписанной окружности | ||
| Площадь | Посмотреть вывод формулы | Выражение площади через радиус вписанной окружности | |
| Сторона | Выражение стороны через радиус описанной окружности | ||
| Периметр | Выражение периметра через радиус описанной окружности | ||
| Площадь | Посмотреть вывод формулы | Выражение площади через радиус описанной окружности |
| Формулы для периметра правильного треугольника |
|
| Формулы для площади правильного треугольника |
|
| Формулы для стороны правильного треугольника |
|
Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника
| Величина | Рисунок | Формула | Описание |
| Периметр | P = 6a | Выражение периметра через сторону | |
| Площадь | Выражение площади через сторону | ||
| Площадь | S = 3ar | Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности | |
| Сторона | Выражение стороны через радиус вписанной окружности | ||
| Периметр | Выражение периметра через радиус вписанной окружности | ||
| Площадь | Выражение площади через радиус вписанной окружности | ||
| Сторона | a = R | Выражение стороны через радиус описанной окружности | |
| Периметр | P = 6R | Выражение периметра через радиус описанной окружности | |
| Площадь | Выражение площади через радиус описанной окружности |
| Формулы для периметра правильного шестиугольника |
|
| Формулы для площади правильного шестиугольника |
|
| Формулы для стороны правильного шестиугольника |
|
Формулы для стороны, периметра и площади квадрата
| Величина | Рисунок | Формула | Описание |
| Периметр | P = 4a | Выражение периметра через сторону | |
| Площадь | S = a2 | Выражение площади через сторону | |
| Сторона | a = 2r | Выражение стороны через радиус вписанной окружности | |
| Периметр | P = 8r | Выражение периметра через радиус вписанной окружности | |
| Площадь | S = 4r2 | Выражение площади через радиус вписанной окружности | |
| Сторона | Выражение стороны через радиус описанной окружности | ||
| Периметр | Выражение периметра через радиус описанной окружности | ||
| Площадь | S = 2R2 | Выражение площади через радиус описанной окружности |
| Формулы для периметра квадрата |
|
| Формулы для площади квадрата |
|
| Формулы для стороны квадрата |
|
На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.
Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь
Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.
Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.
Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.
Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?
Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
- Мы знаем, что площадь правильного треугольника: .
- Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.
- , где — сторона правильного шестиугольника.
- Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.
Значит, радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника, равен его стороне.
Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, нетрудно найти.
Он равен .
Теперь вы легко решите любые задачи ЕГЭ, в которых фигурирует правильный шестиугольник.
. Найдите радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник со стороной .
- Радиус такой окружности равен .
- Ответ: .
. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?
- Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.
- Ответ: .
Гексагон
- Главная
- Справочник
- Геометрия
- Фигуры
- Гексагон
фывафыва
Гексагон — правильный выпуклый многоугольник с шестью сторонами или шестиугольник.
Шестиугольник — это многоугольник, имеющий шесть сторон и шесть углов. В правильном шестиугольнике все стороны равны, а углы образуют шесть равносторонних треугольников.
- Выпуклый шестиугольник — это многоугольник, с общим количеством вершин, равным шести, при этом все точки такого шестиугольника лежат по одну сторону от прямой, которая проведена между двумя любыми соседними его вершинами.
- Правильный шестиугольник — это шестиугольник, все стороны которого равны между собой.
- Сумма углов выпуклого шестиугольника определяется по общей формуле 180°(n-2) и равна 180 ( 6 — 2 ) = 720 градусов.
- При решении задач для нахождения площади произвольного (неправильного) шестиугольника используют метод трапеций, который заключается в разбиении фигуры на отдельные трапеции, площадь каждой из которых можно найти по известным всем формулам.
Свойства правильного шестиугольника
- все внутренние углы равны между собой
- каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120 градусам
- все стороны равны между собой
- сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной окружности
- большая диагональ правильного шестиугольника является диаметром описанной вокруг него окружности и равна двум его сторонам
- меньшая диагональ правильного шестиугольника в ( sqrt{3} )раз больше его стороны.
- vеньшая диагональ правильного шестиугольника перпендикулярна его стороне
- правильный шестиугольник заполняет плоскость без пробелов и наложений
- диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности. 6.
- инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями)
- nреугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями, прямоугольный, а его острые углы равны 30° и 60°.
Внутренние углы Внутренние углы в правильном шестиугольнике равны (120^circ):
(alpha = 120^circ)
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
(m = alargefrac{{sqrt 3 }}{2}
ormalsize)
Апофема Апофема правильного шестиугольника (перпендикуляр, проведенный из центра к любой стороне)
(m = alargefrac{{sqrt 3 }}{2}
ormalsize)
Радиус вписанной окружности правильного шестиугольника равен апофеме:
(r = m = alargefrac{{sqrt 3 }}{2}
ormalsize)
Радиус описанной окружности равен стороне правильного шестиугольника:
(R = a)
Периметр правильного шестиугольника
(P = 6a)
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через длину стороны
(S = pr = {a^2}largefrac{{3sqrt 3 }}{2}
ormalsize), где (p) − полупериметр шестиугольника.
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус вписанной окружности
( S = r^{2}cdot 2sqrt{3} )
Площадь правильного шестиугольника Формула площади правильного шестиугольника через радиус описанной окружности
( S = frac{R^{2}cdot 3sqrt{3}}{2} )
ФигурыМатематика Формулы Геометрия Теория ФигурыБольше интересного в телеграм @calcsbox
- Как известно, пчелы строят соты правильной шестиугольной формы. Дело в том, что шестиугольник – самая оптимальная геометрическая форма для максимально полезного использования единицы площади. Шестиугольник близок к кругу – идеальной естественной фигуре, – но у него есть преимущество: вплотную примыкая друг к другу, шестиугольники позволяют использовать всю полезную площадь сот, максимально заполняя ее медом. Совсем не так было бы, если бы ячейки имели круглую форму – между ними неизбежно оставалось бы много пространства, которое невозможно использовать.
- Панцирь черепахи состоит из шестиугольников. Благодаря ячейкам такой формы он проще всего наращивается. Черепахи растут, и их панцирь должен увеличиваться вместе с ними, причем равномерно по всей площади. Поэтому черепаший панцирь формируется из отдельных пластинок, плотно пригнанных друг к другу, как дощечки паркета, но сохраняющих способность прирастать по краям. Если бы пластинки могли равномерно расти во все стороны, они имели бы форму кругов. Однако круги не могут плотно прилегать друг к другу, между ними неизбежно будут оставаться просветы.
- Некоторые сложные молекулы углерода (напр., графит) имеют гексагональную кристаллическую решётку.
- Гигантский гексагон — атмосферное явление на Сатурне.
- Сечение гайки и многих карандашей имеет вид правильного шестиугольника.
- Игровое поле гексагональных шахмат составляют шестиугольники, в отличие от квадратов традиционной шахматной доски.
- Гексаграмма — шестиконечная звезда, образованная двумя равносторонними треугольниками. Является, в частности, символом иудаизма.
- Контур Франции напоминает правильный шестиугольник, поэтому он является символом страны.
Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!
- Треугольник — многоугольник, образованный тремя отрезками, которые соединяют три точки, не лежащие на одной прямой.
- Квадрат — это правильный четырёхугольник. У него все стороны и углы равны между собой.
- Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).
- Параллелограмм — четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
- Ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны.
- Четырёхугольник — многоугольник, состоящий из четырех точек (вершин) и четырёх отрезков (сторон), попарно соединяющих эти точки.
- Круг — геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от одной заданной точки, называемой центром круга.
- Прямоугольный треугольникТреугольник называют прямоугольным, если у него есть прямой угол, который равен 90 градусов.
- Лошадиная сила — единица мощности. Она примерно равна значению в 75 кгс/м/с., что соответствует усилию, которое необходимо затратить для подъёма груза в 75 кг. на высоту одно метра за одну секунду.
- Бесплатный генератор паролей онлайнСоздать бесплатно пароль любой длины и уровня сложности для ваших приложений, аккаунтов, соц. сетей, паролей к Windows, зашифрованным архивам и т.д.
- Парциальное давление каждого газа, входящего в состав смеси, это давление, которое создавалось бы той же массой данного газа, если он будет занимать весь объем смеси при той же температуре.
- Закон сохранения электрических зарядовАлгебраическая сумма электрических зарядов в замкнутой системе остается постоянной.
- Что такое баррель. Чему равен 1 баррель в литрах?Американский нефтяной баррель равен 42 галлонам в английской системе мер или 158,988 л в метрической системе.
Окружность, вписанная в правильный шестиугольник
Правильный шестиугольник или гексагон — выпуклый шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.
Сумма всех углов n–угольника равна 180°(n−2). Каждый угол правильного n–угольника равен (α_n=frac{left(n-2
ight)}n180°). Следовательно углы правильного шестиугольника равны (frac{left(6-2
ight)}6180°=120°).
Основные свойства правильного шестиугольника
- У гексагона все внутренние углы равны между собой.
- Каждый внутренний угол правильного шестиугольника равен 120°.
- Все стороны гексагона равны между собой.
- Радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, равен его стороне.
- Большая диагональ правильного шестиугольника равна диаметру описанной около него окружности или сумме двух его сторон.
- Меньшая диагональ правильного шестиугольника в (sqrt3) раз больше его стороны.
- Меньшая диагональ правильного шестиугольника и две его противолежащие стороны перпендикулярны друг другу.
- Меньшая диагональ правильного шестиугольника равна удвоенному радиусу вписанной в него окружности.
- Правильный шестиугольник замещает плоскость, это значит заполняет ее без пробелов и наложений.
- Диагонали правильного шестиугольника пересекаются в одной точке и делят его на 6 равных равносторонних треугольников.
Высота этих треугольников равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.
- При поворотах относительно центра на угол, кратный 60°, правильный шестиугольник переходит в себя.
- Треугольник, образованный стороной шестиугольника, его большей и меньшей диагоналями — прямоугольный. Гипотенузой такого треугольника является большая диагональ.
Его острые углы равны 30° и 60°.
У изображенного правильного шестиугольника ∠А=∠В=∠С=∠D=∠Е=∠F=120°. Стороны равны между собой АВ=ВС=СD=DE=EF=FA. Точка О — центр пересечения диагоналей. Большая диагональ AD=2АВ. Меньшая диагональ (СА=sqrt3·АВ).
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Теорема 1
В любой правильный шестиугольник можно вписать окружность, и притом только одну.
Следствие из теоремы:
- Центры вписанной и описанной окружности у правильного шестиугольника (как и у любого правильного многоугольника) совпадают.
- Радиус вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра к любой стороне правильного шестиугольника.
Нахождение радиуса вписанной окружности
В шестиугольник АВСDEF вписана окружность. Ее центр находится на пересечении диагоналей в точке О. Если известна сторона данного шестиугольника, то можно найти радиус вписанной окружности, рассмотрев прямоугольный треугольник (А_1ОВ). Гипотенуза (ΔА_1ОВ) равна стороне шестиугольника, ОВ=АВ. Перпендикуляр (ОА_1) делит сторону АВ пополам, то есть (А_1В=frac12·АВ=frac12·ОВ). Так как (ОВ^2=ОА_1^2+А_1В^2), то (ОА_1=sqrt{ОB^2-A_1В^2}=sqrt{ОB^2-A_1В^2}=sqrt{0B^2-left(frac12cdot0B
ight)^2}=frac{sqrt3}2OB). Получаем следующую формулу:
Формула 1
- (r=frac{sqrt3}2·a)
- где r — радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник,
- а — сторона правильного шестиугольника.
Классическая формула для нахождения радиуса вписанной окружности правильного многоугольника
Существует классическая формула, с помощью которой можно вычислить радиус окружности, вписанной в любой правильный многоугольник.
Формула 2
- (r=frac a{2tgfrac{180^0}n})
- где r — радиус окружности, вписанной в правильный многоугольник,
- а — сторона правильного многоугольника,
- n — количество вершин многоугольника.
Для правильного шестиугольника n=6.
(r=frac a{2tgfrac{180^0}6}=frac a{2tg30^0}.)
Так как (tg30^0=frac1{sqrt3}), то (r=frac{sqrt3}2·a). То есть, получаем формулу, найденную выше.
Периметр правильного шестиугольника
Если известен радиус вписанной окружности, то периметр правильного шестиугольника можно найти по формуле:
Формула 3
- (Р=4sqrt3r)
- где Р — периметр правильного шестиугольника,
- r — радиус вписанной в него окружности.
Загрузка...
