Как определить период колебаний пружинного маятника

В данной теме разговор пойдёт о математическом и пружинном маятниках и их важных характеристиках.

Рассмотрим для начала математический маятник. Математическим маятником называется находящаяся в гравитационном поле материальная точка, подвешенная на невесомой и нерастяжимой нити, прикрепленной к подвесу. Математический маятник — это модель малых реальных колебаний тела под действием силы тяготения при условии, что можно пренебречь:

• 1) размерами подвешенного тела, по сравнению с длиной нити;
• 2) сопротивлением движению тела;
• 3) массой нити и ее деформацией.

Рассмотрим подробно колебания математического маятника в инерциальной системе отсчета, относительно которой точка его подвеса движется прямолинейно и равномерно или же покоится. И так, пусть в начальный момент времени маятник покоится в положении равновесия. Тогда, действующие на маятник сила упругости нити и сила тяжести материальной точки взаимно компенсируются.

Теперь отклоним маятник на некоторое расстояние от точки равновесия и отпустим его. В этом случае, сила тяжести и сила упругости нити уже не будут компенсировать друг друга. Разложим вектор силы тяжести на две составляющих — тангенциальную и нормальную.

Как видим, тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, то есть она является возвращающей силой.

При этом она сообщает материальной точке тангенциальное ускорение и маятник начнет двигаться к положению равновесия с возрастающей по модулю скоростью. А нормальная составляющая силы тяжести, как видно из рисунка, направлена вдоль нити против силы упругости.

Их равнодействующая сообщает маятнику нормальное ускорение, которое изменяет направление вектора скорости. В результате маятник начинает двигаться по дуге.

Чем ближе маятник будет подходить к положению равновесия, тем меньше становиться значение возвращающей силы и тем больше становиться скорость движения маятника. Дойдя до положения равновесия, возвращающая сила становится равной нулю.

При этом скорость движения маятника достигает своего максимума и, не останавливаясь, маятник продолжает свое движение дальше уже по инерции, поднимаясь по дуге вверх.

При этом вновь возникает возвращающая сила, которая становится тем больше, чем выше поднимается маятник.

Но так как возвращающая сила теперь направлена против движения маятника, то его скорость убывает и в точке D скорость маятника становится равной нулю.

Маятник на мгновение останавливается, а затем начинает двигаться в обратном направлении к положению равновесия. Опять пройдя его по инерции, маятник, замедляя свое движение, дойдет до точки А, тем самым совершив одно полное колебание. А так как силы сопротивления отсутствуют, то после этого движение маятника будет повторяться в уже описанной последовательности.

Получим уравнение, описывающее свободные колебания математического маятника. Пусть маятник в данный момент времени находится в точке B.

Его смещение от положения равновесия в этот момент равно длине дуги CB.

Пусть длина нити подвеса маятника равна l, а его масса m. Из рисунка видно, что значение возвращающей силы (то есть тангенциальной составляющей силы тяжести), можно найти как произведение модуля силы тяжести на синус угла отклонения маятника от вертикали.

Из геометрии известно, что по определению синус острого угла есть отношение противолежащего катета к гипотенузе. Также из геометрии известно, что при малых углах (то есть когда острый угол меньше десяти градусов) синус угла можно заменить его градусной мерой.

Перепишем уравнение для тангенциальной составляющей силы тяжести с учетом последнего равенства.

Обратите внимание на знак «минус» в этой формуле. Его здесь ставят потому, что тангенциальная составляющая силы тяжести направлена к положению равновесия, а смещение отсчитывают от положения равновесия. Теперь применим второй закон Ньютона для нашего маятника, в проекциях на направление касательной к траектории движения математического маятника.

Таким образом, имеются два уравнения, в которых равны их левые части. А раз равны левые, то и правые части этих равенств также должны быть равными. Сократив полученное равенство на массу маятника, приходим к тому, что тангенциальное ускорение математического маятника прямо пропорционально его смещению и направлено к положению равновесия.

1. Эту формулу называют динамическим уравнением движения математического маятника.
2. Теперь перепишем это уравнение следующим образом
3. А теперь сравним его с уравнением гармонических колебаний.

Из такой записи видно, что колебания математического маятника являются гармоническими.

А так как рассмотренные колебания происходили только под действием внутренних сил, то это были свободные колебания.

Таким образом, можно сделать важный вывод о том, что при малых углах отклонения свободные колебания математического маятника являются гармоническими.

• Также из анализа формул следует, что циклическая частота колебаний маятника равна квадратному корню из отношения ускорения свободного падения к длине маятника.
• Помня о том, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний математического маятника.
• Полученная формула называется формулой Гюйгенса, так впервые была получена нидерландским физиком Христианом Гюйгенсом.
• Следует обратить внимание на то, что эту формулу можно использовать для расчета периода при выполнении одновременно двух условий:
• 1) колебания маятника должны быть малыми, так как эта формула дает результаты приемлемой точности (ошибка менее одного процента) при углах, не превышающих 4º;
• 2) точка подвеса маятника должна покоиться или двигаться прямолинейно и равномерно относительно инерциальной системы отсчета, в которой находится маятник.

Дело в том, что если точка подвеса математического маятника движется с некоторым ускорением, то изменяется сила натяжения нити.

Это приводит к изменению возвращающей силы, а, следовательно, частоты и периода колебаний.

В этом случае в формуле периода математического маятника ускорение свободного падения следует заменить на так называемое «эффективное» ускорение маятника в неинерциальной системе отсчета.

1. «Эффективное» ускорение можно найти, как векторную сумму ускорения свободного падения и вектора, противоположного вектору ускорения, с которым движется маятник.

Теперь рассмотрим колебания пружинного маятника. Пружинным маятником называется система, состоящая из пружины жесткостью k и материальной точки массой m.

• В простейшей модели пружинного маятника рассматривают только упругую деформацию пружины и пренебрегают:
• 1) любыми силами сопротивления;
• 2) размерами тела, то есть тело принимают за материальную точку;
• 3) массой пружины.
• Различают два вида пружинных маятников — горизонтальный и вертикальный.
• В горизонтальном пружинном маятнике, колебания тела происходят вдоль горизонтальной прямой.
• У вертикального пружинного маятника колебания происходят вдоль вертикальной прямой.

Рассмотрим более подробно колебания идеального горизонтального пружинного маятника. Пусть в начальный момент времени пружина не деформирована, и тело находится в положении равновесия.

Теперь выведем тело из положения равновесия, например, сжав пружину на некоторую величину, и отпустим его.

И так, со стороны деформированной пружины на тело начнет действовать сила упругости, которая всегда будет направленна к положению равновесия, и под действием этой силы тело начнет ускоренно двигаться.

При этом в самом крайнем положении на тело действует максимальная сила упругости, так как здесь абсолютное удлинение пружины наибольшее. Значит и ускорение тела в этом положении максимальное.

При движении тела к положению равновесия абсолютное удлинение пружины начинает уменьшаться, а, следовательно, уменьшается и ускорение, сообщаемое силой упругости. Но так как ускорение сонаправлено со скоростью, то скорость маятника увеличивается и в положении равновесия, как и в случае с математическим маятником, она будет максимальна.

Достигнув положения равновесия, тело не остановится (хотя в этом положении пружина не деформирована), а будет по инерции двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости направлена теперь против движения тела и тормозит его.

В точке D тело на мгновение остановится, так как его скорость окажется равной нулю.

Но ускорение в этой точке максимально, так как максимальна действующая сила упругости и под действием этой силы тело начнет двигаться в обратную сторону, к положению равновесия.

Вновь пройдя его по инерции, тело, сжимая пружину и замедляя движение, дойдет до точки A, то есть совершит одно полное колебание. После этого движение маятника будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника являются действие силы упругости, возникающей при деформации пружины, и инертность тела.

Получим уравнение, описывающее движение пружинного маятника. И так, согласно второму закону Ньютона, единственный результат действия силы упругости — это сообщение телу ускорения.

1. По закону Гука, сила упругости прямо пропорциональна смещению тела и противоположно ему направлена.
2. Перепишем второй закон Ньютона с учетом определения силы упругости пружины.
3. Как видно из уравнения, ускорение маятника прямо пропорционально смещению и противоположно ему по направлению.
4. Перепишем уравнение следующим образом
5. Полученное равенство является динамическим уравнением движения пружинного маятника.
6. Сравнивая его с уравнением гармонических колебаний, видим, что пружинный маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой равной
7. Учитывая, что период колебаний и циклическая частота связаны друг с другом обратной пропорциональностью, получим формулу, по которой можно рассчитать период свободных колебаний пружинного маятника.
8. По этой же формуле можно рассчитывать и период колебаний вертикального пружинного маятника.
9. Основные выводы:

Рассмотрели математический и пружинный маятники. Рассмотрели условия возникновения свободных гармонических колебаний в таких системах. А также вспомнили формулы, по которым можно рассчитать период свободных колебаний математического и пружинного маятников.

Период колебаний пружинного маятника

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 247.

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 247.

Одной из простейших колебательных систем, удобных для изучения, является пружинный маятник. Рассмотрим его подробнее, получим формулу периода колебаний.

Идеальный пружинный маятник представляет собой некоторую точечную массу $m$, которая закреплена на одном конце пружины с постоянной жесткостью $k$, а другой конец пружины – закреплен к неподвижной опоре. Больше никакие силы на пружинный маятник не действуют, и он способен к совершению свободных незатухающих колебаний.

Рис. 1. Горизонтальный пружинный маятник.

Пусть начало координат находится в точке покоя маятника. Тогда, если маятник выведен из состояния равновесия на расстояние $x$, со стороны пружины на него начинает действовать сила $F=-kx$. Знак «минус» означает, что направление действия этой силы противоположно смещению маятника.

Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила, то оно приобретает ускорение:

$$a=-{kxover m}$$

Скорость – это производная координаты. А ускорение – производная скорости. Следовательно, ускорение – это вторая производная координаты. Получим уравнение:

$$x”=-{kover m}x$$

То есть, вторая производная координаты пропорциональна самой координате, взятой с противоположным знаком. Это дифференциальное уравнение, и в высшей математике доказывается, что единственная функция, являющаяся его решением – это круговая функця (синус или косинус). Полное же решение данного уравнения выглядит следующим образом:

• $$x(t)=A cos sqrt{kover m}t$$
• Если взять вторую производную этой функции, то можно убедиться, что она равна самой себе, с противоположным знаком и необходимым коэффициентом.
• Сравним полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний:
• $$x(t)=A cos( omega t+varphi)$$
• Можно видеть, что фаза $varphi$ в уравнении координаты движения маятника равна нулю, а коэффициент $sqrt {kover m}$ представляет собой круговую частоту. Учитывая формулу, связывающей круговую частоту и период, получим формулу периода колебаний пружинного маятника:
• $$T={2pi over omega}=2pisqrt {mover k}$$

Действительно, чем больше масса пружинного маятника, тем дольше будут совершаться колебания. А чем больше жесткость пружины, тем период колебаний будет меньше. Но величины эти связаны с периодом не прямо, а через коренную зависимость, то есть, для увеличения периода маятника вдвое, надо либо увеличить массу маятника вчетверо, либо во столько же раз уменьшить жесткость пружины.

Рис. 2. Период колебаний пружинного маятника.

В реальности на маятник всегда действует сила тяжести, кроме того, в нем происходят потери, связанные с трением и нагревом пружины. Поэтому, его колебания будут затухающими, а их период будет немного отличаться от расчетного. Наиболее близким к идеальному пружинному маятнику является механизм часового балансира.

Рис. 3. Часовой балансир.

Пружинный маятник – это точечная масса, двигающая под воздействием пружины постоянной жесткости. Период колебаний пружинного маятника пропорционален корню из отношения его массы к жесткости пружины.

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 247.

А какая ваша оценка?

Гость завершил

Тест «Разгром»с результатом 9/15

Гость завершил

Тест «Ася»с результатом 13/14

Гость завершил

Тест «Биография Цветаевой»с результатом 13/15

Гость завершил

Тест «Биография Брюллова»с результатом 9/10

Гость завершил

Тест «Матрёнин двор»с результатом 11/11

Гость завершил

Тест «Людмила»с результатом 9/9

Гость завершил

Тест «Разгром»с результатом 3/15

Гость завершил

Тест на тему «Углеводы»с результатом 4/10

Не подошло? Напиши в х, чего не хватает!

Период колебания пружинного маятника, теория и онлайн калькуляторы

Рассмотрим простейшую систему, в которой возможна реализация механических колебаний. Допустим, что на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$. Груз движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза.

• Уравнение движения груза при таких колебаниях имеет вид:
• где ${omega }^2_0=frac{k}{m}$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:
• где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ — амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ — начальные фазы колебаний.

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1
ight),] [x=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight)=B{sin left({omega }_0t+{varphi }_1
ight) } }left(2
ight),]

Частота и период колебаний пружинного маятника

Косинус (синус) — периодическая функция, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют
периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

1. Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($
   u $):
2. Период связан с циклической частотой колебаний как:
3. Зная, что для пружинного маятника ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}$, период колебаний его определим как:

[T=frac{1}{
u }left(3
ight).] [T=frac{2pi }{{omega }_0}left(4
ight).] [T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(5
ight).]

Из выражения (5) мы видим, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза, находящегося на пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Такое свойство колебаний называют изохронностью.

Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, при этом возникает зависимость колебаний от амплитуды.

Отметим, что формула (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Единицей измерения периода являются единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:

[left[T
ight]=с.]

Примеры задач на период колебания пружинного маятника

Пример 1

Задание. К упругой пружине прикрепили небольшой груз, при этом пружина растянулась на $Delta x$=0,09 м. Каким будет период колебаний данного пружинного маятника, если его вывести из равновесия?

Решение. Сделаем рисунок.

Рассмотрим состояние равновесия пружинного маятника. Груз прикрепили, после этого пружина растянулась на величину $Delta x$, маятник находится в состоянии равновесия. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Запишем второй закон Ньютона для состояния равновесия груза:

[moverline{g}+{overline{F}}_u=0 left(1.1
ight).]

Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

[mg=F_uleft(1.2
ight).]

Так как груз по условию задачи небольшой, пружина растянулась не сильно, следовательно выполняется закон Гука, величину силы упругости найдем как:

[F_u=kDelta x left(1.3
ight).]

Используя выражения (1.2) и (1.3) найдем отношение $frac{m}{k}$:

[mg=kDelta x o frac{m}{k}=frac{Delta x }{g}left(1.4
ight).]

• Период колебаний пружинного маятника при малых колебаниях можно найти, используя выражение:
• Заменяя отношение массы груза к жесткости пружины на правую часть выражения (1.4), получим:
• Вычислим период колебаний нашего маятника, если $g=9,8 frac{м}{с^2}$:
• Ответ. $T$=0,6 с

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(1.5
ight).] [T=2pi sqrt{frac{Delta x }{g}.}] [T=2pi sqrt{frac{0,09 }{9,8} approx 0,6 (с)}]
   
Пример 2

Задание. Две пружины с жесткостями $k_1$ и $k_2$ соединены последовательно (рис.2), к концу второй пружины присоединен груз массы $m$, Каков период колебаний данного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука.

1. Решение.Период колебаний пружинного маятника равен:
2. Если две пружины соединены последовательно, то их результирующая жесткость ($k$) находится как:
3. Вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:
4. Ответ. $T=2pi sqrt{frac{m(k_1{+k}_2)}{k_1k_2}}$

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(2.1
ight).] [frac{1}{k}=frac{1}{k_1}+frac{1}{k_2} o k=frac{k_1k_2}{k_1{+k}_2}left(2.2
ight).] [T=2pi sqrt{frac{m(k_1{+k}_2)}{k_1k_2}}.]
   

Читать дальше: плечо силы.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

1.5.2 Период и частота колебаний. Период малых свободных колебаний математического маятника. Период свободных колебаний пружинного маятника

Видеоурок: Маятник — Физика в опытах и экспериментах

• Лекция: Период и частота колебаний
• Маятник — это физическое тело, совершающее колебания под действием сил тяжести или упругости.
• Математический маятник

Рассмотрим два вида маятников: математический и пружинный.

Идеальной системой колебаний является математический маятник. Данная модель состоит из упругой длинной нити с большой жесткостью и небольшого тела на её конце. Если отклонить такой маятник от состояния равновесия всего на 5 градусов или менее, то он будет совершать гармонические колебания.

Гармонические колебания данного тела совершаются благодаря силе натяжения нити и силе тяжести.

Для вывода формул периода математического маятника, следует воспользоваться Вторым законом Ньютона и основными уравнениями механики. В результате этого получим, что период и циклическая частота математического маятника равны:

Отсюда можно сделать вывод, что ни масса тела маятника, ни выбранная амплитуда не влияют на период и частоту колебаний. Они зависят только от длины нити и ускорения свободного падения в данной местности.

Математический маятник используют для регулирования часов в определенной местности в любой точке земного шара, поскольку, мы уже знаем, что ускорение свободного падения на разных частях поверхностей Земли отличается.

Математический маятник также используют для определения местонахождения залежей металлической руды, поскольку в данных местностях ускорение свободного падения увеличивает свое значение.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это тело, прикрепленное к пружине, которое колеблется под действием силы упругости и силы тяжести.

Произведя аналогичные математические выкладки, получим период и циклическую частоту пружинного маятника:Характеристики гармонических колебаний пружинного маятника зависят от массы груза и жесткости пружины.

Предыдущий урок

Следующий урок

Физика. 11 класс

Груз, подвешенный на нити, колеблющийся в поле тяжести Земли, а также груз, прикрепленный к пружине — примеры наиболее простых механических колебательных систем. Рассмотрим физические процессы, происходящие в таких системах.

Совокупность нескольких тел образуют механическую систему. Тела, не входящие в систему, называются внешними.Второй закон Ньютона (основной закон динамики): ускорение, приобретаемое телом под действием приложенных к нему сил, обратно пропорционально массе тела, направлено по результирующей этих сил и прямо пропорционально ее модулю:

• Закон Гука: при упругих деформациях сжатия и растяжения модуль силы упругости прямо пропорционален модулю изменения длины тела:

где k — жесткость тела, — длина недеформированного тела, l — длина деформированного тела. Направление силы упругости всегда противоположно направлению смещения при деформации.

Какие условия необходимы для возникновения колебаний?

Результаты опытов показывают, что для возникновения и существования механических колебаний тело изначально необходимо привести в движение.

Это можно сделать, отклоняя его от положения равновесия или придавая ему начальную скорость посредством толчка. Этим отклонением или толчком определяется амплитуда колебаний.

Кроме того, при выведении тела из положения равновесия в колеблющейся системе должна возникать результирующая сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия.

Простейшая колебательная система, состоящая из тела с прикрепленной к нему пружиной, связывающей тело и опору, называется пружинным маятником. Пружина может располагаться как горизонтально (горизонтальный пружинный маятник), так и вертикально (вертикальный пружинный маятник).

Рассмотрим колебания горизонтального пружинного маятника.

Пусть тело массой m, лежащее на гладкой горизонтальной поверхности, прикреплено к свободному концу невесомой пружины жесткостью k (рис. 13, а). Второй конец пружины прикреплен к неподвижной опоре.

 Выведем тело из положения равновесия, сместив его, например, вправо на расстояние x (см. рис. 13, б). При этом согласно закону Гука возникнет сила упругости  приложенная к телу и направленная влево.

Согласно второму закону Ньютона будет выполняться равенство:   

(1)

С учетом закона Гука из (1) получаем уравнение для проекций величин на ось Ox (см. рис. 13, б):

.

(2)

Согласно (2) ускорение тела массой m пропорционально действующей силе и направлено к положению равновесия. При этом возникают колебания тела. Каждые полпериода направление движения меняется на противоположное. Смещение груза происходит то вправо, то влево относительно положения равновесия, т. е. оно меняет знак. Следовательно, и сила согласно (2) тоже меняет знак.

Перепишем полученное соотношение (2) в виде:

.

(3)

Уравнение (3) называется уравнением гармонических колебаний пружинного маятника.Следовательно, необходимым условием возникновения гармонических колебаний является действие возвращающей силы, направленной к положению равновесия и прямо пропорциональной смещению тела от положения равновесия.

Эта возвращающая сила всегда направлена к положению равновесия, о чем «говорит» минус в уравнении (2).В положении равновесия возвращающая сила равна нулю ( = 0), так как x = 0. Поэтому если в этом положении колеблющееся тело остановить, то колебания исчезнут.

Расчеты показывают, а результаты экспериментов подтверждают, что при описанных условиях тело будет совершать колебания с периодом:

.

(4)

С учетом того, что период связан с циклической частотой соотношением  , находим:

.

(5)

Из формул (4) и (5) следует, что период и частота гармонических колебаний пружинного маятника определяются массой груза m и жесткостью пружины k и не зависят от амплитуды его колебаний.

Отметим, что период и циклическая частота колебаний вертикального пружинного маятника (рис. 14) также определяются по формулам (4) и (5).

Одной из наиболее распространенных колебательных систем является математический маятник.

Математическим маятником называется небольшое тело массой m, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити длиной l, находящееся в поле силы тяжести (рис. 15).

Рассмотрим колебания математического маятника.

Отклонение маятника от положения равновесия будем характеризовать углом α (рис. 16), который нить образует с вертикалью. После отклонения маятника от положения равновесия на него действуют две силы: направленная вертикально вниз сила тяжести  и направленная вдоль нити сила упругости   .

  Под действием этих сил тело движется ускоренно к положению равновесия (точка B). Пройдя точку B, тело продолжает двигаться, но его скорость постепенно уменьшается, обращаясь в нуль в точке, симметричной точке А относительно вертикали. После этого оно начинает двигаться обратно к точке B.

Согласно второму закону Ньютона для движения маятника можем записать: 

(6)

В проекциях на выбранные оси координат Ox и  Oy (см. рис. 16) получаем: 

,

(7)

(8)

1. Поскольку при малых углах отклонения длина дуги АВ ≈ х, то из ΔAOD находим:
2. ,
3. где х — отклонение маятника от положения равновесия, l — длина маятника. Подставляя выражение для синуса в (7), получим:

(9)

Таким образом, силой, возвращающей маятник к устойчивому положению равновесия при колебаниях, являются силы упругости его нити и силы тяжести.При малых углах отклонения маятника проекция вектора ускорения  и ей можно пренебречь, а , тогда из уравнения (8) следует Следовательно, уравнение движения маятника вдоль оси Ox запишется в виде:

.

где — проекция ускорения, сообщаемого грузу маятника силой упругости нити.Откуда получаем уравнение колебаний математического маятника:

.

(10)

Сравнивая соотношения (10), (3) и (5), легко получить формулу для циклической частоты математического маятника в поле тяжести Земли:

.

(11)

Период малых колебаний математического маятника  в поле тяжести Земли определяется по формуле Гюйгенса:

(12)

Используя соотношения (5) и (11), уравнение колебаний пружинного маятника  и математического маятника   можно записать в одинаковом виде:

.

(13)

Таким образом, зависимости координат от времени x(t), описываемые уравнениями (5) и (6) из  § 1, удовлетворяют уравнению (13), которое называется уравнением гармонических колебаний.

Как видно из формул (11), (12), период и циклическая частота малых колебаний математического маятника не зависят от массы маятника и амплитуды его колебаний, а определяются только его длиной и ускорением свободного падения.

Галилео Галилей первый экспериментально определил, что период малых колебаний () математического маятника длиной l в поле силы тяжести не зависит от его массы m и амплитуды колебаний (угла начального отклонения a).

Одним из важнейших достижений Х. Гюйгенса было изобретение часов с маятником. Он запатентовал свое изобретение 16 июля 1657 г. В 1673 г. вышло в свет его сочинение «Маятниковые часы», в котором были изложены теоретические основы его изобретения. Именно постоянство периода (частоты) колебаний маятника позволило использовать его для создания часов.

• Если маятник приобретает дополнительное ускорение , обусловленное, например, ускоренным движением точки подвеса, то при этом будет изменяться сила упругости нити. В таком случае период колебаний маятника будет определяться по формуле:
• где  — «эффективное ускорение», равное векторной разности .

Повышенный интерес к гармоническим колебаниям объясняется тем, что они широко распространены в науке и технике (маятники, музыкальные инструменты, свет, переменные токи и т. д.).

Кроме того, гармонические колебания имеют простое математическое описание, а их период не зависит от амплитуды.

Подчеркнем, что любое периодическое движение можно рассматривать как результат наложения простых гармонических составляющих.

Свойство независимости периода колебаний маятника от амплитуды называется изохронностью (от греческих слов εσος (изос) — равный и χρονος (хронос) — время). Следовательно, колебания пружинного маятника обладают свойством изохронности. Изохронность колебаний маятника была открыта Галилео Галилеем в 1583 г. при изучении движения груза, подвешенного на нити.

В 1807 г. французский физик Жан Батист Жозеф Фурье (1768—1830) показал, что любой периодический процесс, каким бы сложным он ни был, может быть разложен на составляющие его гармонические сигналы. В качестве примера приведем моделирование прямоугольного сигнала в виде суммы гармонических сигналов с кратными частотами в отношении 1:3:5:7…. (рис. 16-1). Чем больше сигналов разных частот складываются, тем точнее форма конечного сигнала будет соответствовать исходной прямоугольного сигнала. Сигналы прямоугольной формы широко используются для проверки динамиков, микрофонов.

Математический и пружинный маятники. Период колебаний математического и пружинного маятника

Математический маятник это идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.

Математический маятник представлен на рисунке:

Математический маятник

Принцип действия математического маятника заключается в том, что при отклонении материальной точки от положения равновесия на малый угол a, такой, чтобы выполнялось условие sina=a, на тело будет действовать сила F = -mgsina = -mga. Знак минус указывает, что сила направлена в сторону, противоположную смещению. Сила F пропорциональна смещению S, следовательно, под действием этой силы материальная точка будет совершать гармонические колебания.
 — период колебания математического маятника.

L — длина маятника,

g — ускорение свободного падения.

Пружинный маятник это колебательная система, состоящая из груза массой m, подвешенного к абсолютно упругой пружине, коэффициент жесткости которой k. Пружинный маятник это система, способная совершать свободные колебания.

Пружинный маятник представлен на рисунке:

Пружинный маятник

Пружинный маятник должен удовлетворять следующим условиям:

1. должно существовать положение устойчивого равновесия;
2. должен существовать фактор, не позволяющий системе остановиться в положении равновесия в процессе колебаний (в механике инертность системы);
3. трение в системе должно быть мало.

— период колебания пружинного маятника.

 — частота пружинного маятника.

• m — масса груза,
• к — жесткость пружины

1. Что называют математическим маятником?
2. Как определить период колебаний математического маятника?
3. От чего зависит период колебаний математического маятника?
4. Что называют пружинным маятником?
5. Как определить период колебаний пружинного маятника?
6. От чего зависит период колебаний пружинного маятника?
7. Какие превращения энергий происходят при колебаниях пружинного и математического маятника?

Физика: формула периода колебаний

Определение 1

Период колебаний — минимальное время, за которое циклически движущаяся система возвращается в исходное состояние.

• Период колебаний можно найти как
• $T = frac{t}{n}$,
• где $t$ — время всех колебаний, $n$ — их количество.

Закономерности, связанные с колебаниями, удобно изучать с помощью модели движущегося в горизонтальной плоскости пружинного маятника, поскольку внутри такой системы действует всего одна сила — сила упругости пружины (ее весом и силами сопротивления среды можно пренебречь). Такое устройство относится к т.н. линейным гармоническим осцилляторам — системам, графиком зависимости скорости тела от времени для которых является синусоида.

Функция силы от времени, действующая в пружинном маятнике, может быть выражена как:

$F(t) = m cdot a (t) = -m cdot omega^2 cdot x$ (t), где:

• $m$ — масса,
• $a$ — ускорение,
• $omega$ — круговая частота гармонических колебаний,
• $x$ — приращение длины в данный момент времени.

1. Сила упругости зависит лишь от коэффициента упругости пружины и растяжения пружины:
2. $F_{упр} = -k cdot x$
3. Объединив эти две формулы, получим:
4. $m cdot a = -kx = m cdot omega_0^2 cdot x$,
5. Величина $omega_0$ называется собственной частотой колебательной пружинного маятника. Ее можно выразить, исходя из вышеизложенного, как
6. $omega_0 = sqrtfrac{k}{m}$.
7. Период колебаний связан с собственной частотой отношением
8. $T = frac{2pi}{omega_0}$,
9. где $2pi$ — длина одного цикла, выраженная в радианах. Из этого можно выразить период как зависимость от массы и упругости:
10. $T = 2pi cdot sqrtfrac{m}{k}$.

Для других колебательных систем класса гармонических осцилляторов (математического маятника, крутильного маятника) периоды колебаний находятся аналогично. Различаются лишь системы сил, действующие на тело. Так, период колебаний математического маятника зависит (при небольших углах отклонения от вертикали) от длины подвеса.

Пример 1

• Найти жёсткость пружины пружинного маятника с грузом массой 0,1 кг, если период его колебаний составляет 1 с.
• Подставляем значения в формулу:
• $1 = 2 cdot 3,14 cdot sqrtfrac{0,1}{k}$
• $1^2 = 4 cdot 3,14^2 cdot frac{0,01}{k^2}$
• $k = sqrt {4 cdot 3,14^2 cdot 0,01} = 0,628 frac{Н}{м}$
• Ответ: $0,628 frac{Н}{м}$.