Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Во многих механизмах используется потенциальная и кинетическая энергия пружины. Их используют для выполнения различных действий.

В отдельных узлах они фиксируют детали в определенном положении, не позволяя смещать в какую-либо сторону (барабан револьвера относительно корпуса).

Другие пружинные системы возвращают исполнительный механизм в исходное положение (курок ручного огнестрельного оружия). Есть устройства, где узлы с гибкими свойствами совершают перемещения в устойчивое положение (механические стабилизаторы).

Работа связана с изменением геометрических параметров упругого тела. Прилагая нагрузку, заставляют эластичную деталь сжиматься (растягиваться или изгибаться). При этом наблюдается запасание энергии. Возвратное действие сопровождается набором скорости. Попутно возрастает кинетическая энергия.

Потенциальная энергия пружины

  • Рассматривая в качестве накопителя энергии пружину, следует отметить ее отличительные свойства от иных физических тел, которые могут накапливать энергетический потенциал. Традиционно понимается следующее: для накопления потенциала для последующего движения необходимо совершение движения в силовом поле:
  • Еп = F ⋅ l, Дж (Н·м),
  • где Еп– потенциальная энергия положения, Дж;
    F – сила, действующая на тело, Н;
    l – величина перемещения в силовом поле, м.

Энергия (работа) измеряются в Джоулях. Величина представляет произведение силы (Н) на величину перемещения (м).

  1. Максимальная кинетическая энергия груза на пружине
  2. Если рассматривать условие в поле тяготения, то величина силы находится произведением ускорения свободного падения на массу. Здесь сила веса находится с учетом g:
  3. Еп = G ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h, Дж

здесь G – вес тела, Н;
m – масса тела, кг;
g – ускорение свободного падения. На Земле эта величина составляет g = 9,81 м/с².

  • Если расстраивается пружина, то силу F нужно определять, как величину, пропорциональную перемещению:
  • F = K ⋅ x, Н,
  • где k – модуль упругости, Н/м;
    х – перемещение при сжатии, м.
  • Величина сжатия может изменяться по величине, поэтому математики предложили анализировать подобные явления с помощью бесконечно малых величин (dx) .
  • При наличии непостоянной силы, зависящей от перемещения, дифференциальное уравнение запишется в виде:
  • dEп = k ⋅ x ⋅ dx
  • здесь dEп – элементарная работа, Дж;
    dx – элементарное приращение сжатия, Н.
  • Интегральное уравнение на конечном перемещении запишется в виде. Ниже вывод формулы:
  • Максимальная кинетическая энергия груза на пружине
  • Пределами интегрирования является интервал от до х. Деформированная пружина приобретает запас по энергетическим показателям
  • Окончательно формула для расчета величины потенциальной энергии сжатия (растягивания или изгиба) пружины запишется формулой:
  • Максимальная кинетическая энергия груза на пружинеМаксимальная кинетическая энергия груза на пружине

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии существует независимо от желания наблюдателя. Все физические законы имеют статистический характер: существуют только подтверждения их выполнения, нет ни одного адекватно выполненного опыта, при котором наблюдается нарушение этой закономерности. Природные явления только подтверждают сохранность работы и энергозатрат, затраченных на ее выполнение.

  1. На основании изложенного сформулировано положение:
  2. Максимальная кинетическая энергия груза на пружине
  3. где Ек – кинетическая энергия, Дж.

Рассматривая перемещения тела, наблюдаются изменения потенциальной и кинетической энергий. При этом сумма значений остается постоянной.

Проще всего проследить за изменениями между разными видами энергетических показателей при рассмотрении движения маятника.

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Из крайнего положения (шарик на нити отклонился в одну из сторон, Еп = max) тело движется под действием силы тяжести. При этом снижается запасенная энергия. Движение сопровождается увеличением скорости. Поэтому нарастают показатели динамического перемещения Ек.

В нижней точке не остается никаких запасенных эффектов от положения шарика. Он опустился да минимума. Теперь Ек =max.

Поучается, при совершении гармонических колебаний маятник поочередно накапливает то один, то другой вид энергии. Механические превращения из одного вида в другой налицо.

Кинетическая энергия

  • Движущееся тело характеризуется скалярной величиной (масса) и векторная величина (скорость). Если рассматривать реальное перемещение в пространстве, то можно записать уравнение для определения кинетической энергии:
  • Максимальная кинетическая энергия груза на пружине
  • здесь v – скорость движения тела, м/с.
  • Максимальная кинетическая энергия груза на пружине
  • Использование кинетического преобразования можно наблюдать при колке орехов.
  • Приподняв камень повыше, далекие предки создавали необходимый потенциал для тяжелого тела.
  • Максимальная кинетическая энергия груза на пружине
  • Приподняв камень на максимальную высоту, разрешают ему свободно падать.
  • Двигаясь с высоты h, он набирает скорость
  • Максимальная кинетическая энергия груза на пружине
  • Поэтому в конце падения будет получена кинетическая энергия

Рассматривая входящие величины, можно увидеть, как происходит преобразование величин. В конце получается расчетная формула для определения потенциальной энергии.

Даже на уровне вывода зависимостей можно наблюдать выполнение закона сохранения энергии твердого тела.

Использование энергии пружины на практике

Явление преобразования потенциальной энергии пружины в кинетическую используется при стрельбе из лука.

Натягивая тетиву, стреле сообщается потенциал для последующего движения. Чем жестче лук, а также ход при натягивании тетивы, тем выше будет запасенная энергия. Распрямляясь дуги этого оружия, придадут метательному снаряду значительную скорость.

В результате стрела полетит в цель. Ее поражающие свойства определятся величиной кинетической энергии (mv²/2).

Для гашения колебаний, возникающих при движении автомобиля, используют амортизаторы. Основным элементом, воспринимающим вертикальную нагрузку, являются пружины. Они сжимаются, а потом возвращают энергию кузову. В результате заметно снижается ударное воздействие. Дополнительно устанавливается гидроцилиндр, он снижает скорость обратного движения.

  1. Рассмотренные явления используют при проектировании механизмов и устройств для автоматизации процессов в разных отраслях промышленности.
  2. Видео: закон Гука и энергия упругой деформации.
  3. Republished by Blog Post Promoter

Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин

Время на чтение: 11 минут

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики. 

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости. 

Приняты следующие обозначения:

  • m — масса тела;
  • k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Особенностями пружинных маятников являются:

  1. Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

  2. У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

  3. Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

  4. Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

  5. От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Существует два типа данной системы:

  1. Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

  2. Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её. 

Читайте также:  Формула циклической частоты свободных колебаний пружинного маятника

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

  • Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:
  • Fупр = — k*x
  • где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),
  • x – смещение (м).

Уравнения колебаний пружинного маятника

  1. Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

     

  2. Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:
  3. F(t) = ma(t) = — mw2x(t),
  4. где w — радиальная частота гармонического колебания.

  5. Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

  • Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Факторы, от которых зависит частота:

  1. Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

  2. Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

  1. Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника. 
  2. В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

  • Потенциальная энергия:
  1. Кинетическая энергия:
  • Полная энергия:

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

  1. Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

  2. В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

  3. Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника 

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

Формулы пружинного маятника в физике

Определение

Пружинным маятником называют систему, которая состоит из упругой пружины, к которой прикреплен груз.

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1
ight),]

  • где ${щu}^2_0=frac{k}{m}$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:
  • где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ — амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ — начальные фазы колебаний.
  • В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1
ight) } }left(2
ight),] [Re ilde{x}=Releft(Acdot exp left(ileft({omega }_0t+varphi
ight)
ight)
ight)left(3
ight).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}}left(4
ight).]

Так как частота колебаний ($
u $) — величина обратная к периоду, то:

[
u =frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}left(5
ight).]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

  1. Амплитуду можно найти как:
  2. начальная фаза при этом:
  3. где $v_0$ — скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

[A=sqrt{x^2_0+frac{v^2_0}{{omega }^2_0}}left(6
ight),] [tg varphi =-frac{v_0}{x_0{omega }_0}left(7
ight),]

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

[E_p=-frac{dF}{dx}(8)]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

  • тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:
  • Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:
  • где $dot{x}=v$ — скорость движения груза; $E_k=frac{m{dot{x}}^2}{2}$ — кинетическая энергия маятника.
  • Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}left(9
ight).] [frac{m{dot{x}}^2}{2}+frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}=const left(10
ight),]

  • Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
  • Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Пример 1

Задание. Маленький шарик, массой $m=0,36$ кг прикреплен к горизонтальной пружине, коэффициент упругости которой равен $k=1600 frac{Н}{м}$. Каково было начальное смещение шарика от положения равновесия ($x_0$), если он при колебаниях проходит его со скоростью $v=1 frac{м}{с}$?

Решение. Сделаем рисунок.

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

  1. По закону сохранения механической энергии (так как считаем, что сил трения нет), запишем:
  2. где $E_{pmax}$ — потенциальная энергия шарика при его максимальном смещении от положения равновесия; $E_{kmax }$ — кинетическая энергия шарика, в момент прохождения положения равновесия.
  3. Потенциальная энергия равна:

[E_{pmax}=E_{kmax }left(1.1
ight),] [E_{kmax }=frac{mv^2}{2}left(1.2
ight).] [E_{pmax}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.3
ight).]

В соответствии с (1.1) приравняем правые части (1.2) и (1.3), имеем:

[frac{mv^2}{2}=frac{k{x_0}^2}{2}left(1.4
ight).]

  • Из (1.4) выразим искомую величину:
  • Вычислим начальное (максимальное) смещение груза от положения равновесия:
  • Ответ. $x_0=1,5$ мм

[x_0=vsqrt{frac{m}{k}}.] [x_0=1cdot sqrt{frac{0,36}{1600}}=1,5 cdot {10}^{-3}(м).]

Пример 2

Задание. Пружинный маятник совершает колебания по закону: $x=A{cos left(omega t
ight), } $где $A$ и $omega $ — постоянные величины. Когда возвращающая сила в первый раз достигает величины $F_0,$ потенциальная энергия груза равна $E_{p0}$.
В какой момент времени это произойдет?

  1. Решение. Возвращающей силой для пружинного маятника является сила упругости, равная:
  2. Потенциальную энергию колебаний груза найдем как:
  3. В момент времени, который следует найти $F=F_0$; $E_p=E_{p0}$, значит:
  4. Ответ. $t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}
    ight) }$

[F=-kx=-kA{cos left(omega t
ight)left(2.1
ight). }] [E_p=frac{kx^2}{2}=frac{kA^2{{cos }^2 left(omega t
ight) }}{2}left(2.2
ight).] [frac{E_{p0}}{F_0}=-frac{A}{2}{cos left(omega t
ight) } o t=frac{1}{omega } arc{cos left(-frac{2E_{p0}}{AF_0}
ight) }.]

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Максимальная кинетическая энергия груза: формула

Определение 1

Кинетическая энергия — внутренняя энергия движущегося тела, обусловленная его инертностью (массой) и скоростью. Она равна энергии, которую нужно затратить, чтобы снизить скорость этого тела до нуля.

Например, движущийся автомобиль невозможно остановить мгновенно. Для остановки необходимо затратить энергию трения тормозных колодок о тормозные диски колес и шин об асфальт.

Замечание 1

Кинетическая и потенциальная энергия измеряются в джоулях ($1 Дж = Н cdot м$).

В некоторых физических системах происходят циклические преобразования потенциальной (запасенной) энергии в кинетическую и обратно. Такие системы называются маятниками.

Например, для груза, подвешенного на нити, потенциальная энергия максимальна, когда он отклонен на максимальный угол от вертикали. Мгновенная скорость груза в этот момент равна нулю и, следовательно, нулю равна и кинетическая энергия.

По мере движения вниз под действием силы тяжести, скорость груза нарастает и достигает максимума в нижней точке, после чего снова начинает запасаться по мере движения вверх.

Проще всего изучать переход кинетической и потенциальной энергий друг в друга на примере пружинного маятника, где действует, если пренебречь силой трения, лишь сила упругости. Когда пружину сжимают, энергия запасается. Когда отпускают — потенциальная энергия, сохраненная в кристаллической решетке материала, высвобождается и превращается в кинетическую, разгоняя груз.

Когда скорость груза достигает максимума, он продолжает движение по инерции, растягивая пружину в противоположном направлении, вновь запасая энергию и снижая скорость. Характеристики такого колебательного движения зависят только от материала пружины, толщины проволоки, из которой она намотана, диаметра и количества витков.

Все эти факторы описываются единым параметром — коэффициентом упругости.

Максимальная кинетическая энергия груза

Для простого пружинного маятника полную энергию груза в любой момент времени можно выразить как

$E = E_p + E_k = frac{m cdot v^2}{2} + frac{k cdot x^2}{2}$, где:

  • $E_p$ — потенциальная энергия,
  • $E_k$ — кинетическая энергия,
  • $m$ — масса,
  • $v$ — моментальная скорость,
  • $k$ — коэффициент упругости,
  • $x$ — приращение длины пружины в данный момент.

Максимальную кинетическую энергию можно вычислить как

$(E_k)_{max} = frac{m cdot v_{max}^2}{2}$,

где $v_{max}$ — максимальная скорость груза. Однако измерить ее на практике сложно. Проще, опираясь на постоянство суммы кинетической и потенциальной энергий, определить максимальную потенциальную (когда кинетическая равна нулю). Поскольку справедливо и обратное, можно записать:

$(E_k)_{max} = (E_p)_{max} = frac{k cdot x_{max}^2}{2}$,

где $x_{max}$ — максимальное приращение растяжения пружины. Его легко измерить, а коэффициент упругости посмотреть в справочнике.

Пример 1

Компактный груз, массой 0,5 кг прикреплен к движущейся горизонтально пружине. Ее коэффициент упругости равен 2000 $frac{Н}{м}$. Каково было начальное приращение длины пружины, если его максимальная скорость во время колебаний составляет 1 $frac{м}{с}$?

  • Из условий задачи можно найти максимальную кинетическую энергию груза:
  • $(E_k)_{max} = frac{0,5 cdot 1^2}{2} = 0,25 Дж$
  • Выразив максимальную потенциальную энергию через приращение длины пружины, составим равенство:
  • $0,25 = frac{2000 cdot x_{max}^2}{2} implies x_{max} = sqrt{frac{2 cdot 0,25}{2000}} approx 0,016 м$.
  • Ответ: $approx 1,6 мм$.

Максимальная кинетическая энергия груза на пружине

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики.

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости.

Приняты следующие обозначения:

  Как отличить дюймовый и метрический крепеж

  • m — масса тела;
  • k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

  • Сочетание тела и пружины.Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;
  • У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения.При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;
  • Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования.В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;
  • Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости.Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;
  • От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения.Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Амплитуда и начальная фаза колебаний пружинного маятника

Амплитуду колебаний ($y_m$) и начальную фазу ($delta$) невозможно определить из дифференциального уравнения (4). Данные неизменные параметры колебаний определяют исходя из начальных условий колебаний. Например, задают:

  • смещение $y$ в момент времени принимаемы за $t=0$;
  • и начальную скорость ($dot{x}$) в этот же момент времени.
  • Лень читать?
  • Задай вопрос специалистам и получи ответ уже через 15 минут!
  • Задать вопрос
  • Замечание 1

Дифференциальное уравнение (4) справедливо при любых начальных условиях. Поскольку это уравнение может описывать любые колебания, которые способна совершать наша колебательная система. Конкретное колебание выделяют из этого комплекса при определении постоянных $y_m$ и $delta$.

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

  Забор из евроштакетника своими руками пошаговая инструкция

  • Вертикальный

    маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

  • Горизонтальный

    — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

  • Сила упругости в пружинном маятнике

    До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её.

    Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

    1. Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:
    2. Fупр= — k*x где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),
    3. x – смещение (м).

    Пружинный маятник

    • «Мир, в котором мы живём,
    • удивительно склонен к колебаниям….
    • Колеблются даже атомы,
    • из которых мы состоим».
    • Данная тема посвящена решению задач на пружинный маятник.
    • Задача 1.

    На пружину с жёсткостью 50 Н/м подвешивают груз массой 3 кг. За какое время груз совершит 30 полных колебаний?

    ДАНО: РЕШЕНИЕ

    1. Период колебаний пружинного маятника может быть определён по формуле
    2. Период колебаний, в общем случае также рассчитывается по формуле
    3. Приравняем эти формулы и выразим искомое время
    • Ответ
    • : 46,2 с.
    • Задача 2.

    К пружине подвешен груз массой 100 г. После того, как массу груза увеличили, период колебаний увеличился в 2,5 раза. Найдите массу, на которую увеличили массу груза.

    ДАНО: СИ РЕШЕНИЕПериод колебаний пруженного маятника определяется по формулеПрименим эту формулу для начального и конечного периодовТ.к. по условию задачиТо получаемПреобразуем данное выражение
    1. Ответ
    2. : 525 г.
    3. Задача 3

    . Шарик массой 400 г подвешен на пружине. Собственная частота колебаний шарика равна 15 рад/с, а начальная амплитуда колебаний равна 40 см. Известно, что система теряет энергию со скоростью 2 Дж/с. Через какое время после начала затухания колебаний шарик остановится?

    ДАНО: СИ РЕШЕНИЕ

    • Энергия пружинного маятника рассчитывается по формуле
    • Собственная частота пружинного маятника определяется по формуле
    • Выразим из этой формулы коэффициент жёсткости и подставим его в первую формулу
    • Составим уравнение, учитывая то, что шарик остановится в тот момент, когда система исчерпает свою энергию (то есть, начальная энергия будет уменьшаться с указанной в задаче скоростью, в течение определённого промежутка времени)
    1. Ответ
    2. : 3,6 с.
    3. Задача 4.

    Пружинный маятник совершает колебания по закону косинуса. Известно, что максимальная скорость, достигаемая системой при колебаниях равна 3 м/с, а период колебаний составляет 10 с. Постройте графики зависимости координаты и скорости от времени. Сдвиг фаз равен нулю.

    ДАНО: РЕШЕНИЕЗапишем уравнение гармонических колебаний  Правила параллельного и последовательного соединения ламп

    • Циклическую частоту пружинного маятника можно рассчитать по формуле
    • С другой стороны циклическая частота определяется как
    • Запишем закон сохранения энергии для пружинного маятника
    • При колебаниях потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот, поэтому, полную энергию можно приравнять к максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии.
    • Приравняем эти две формулы и выразим амплитуду
    • Тогда с учетом значений амплитуды и циклической частоты уравнение гармонических колебаний примет вид
    • Скорость гармонических колебаний описывается уравнением
    • Тогда получаем
    • По полученным зависимостям построим требуемые в условии задачи графики

    Задача 5.

    Шарик, прикреплённый к пружине, совершает колебания в горизонтальной плоскости с периодом 5 с. Если эту пружину заменить на другую, то период колебаний станет равен 8 с. Найдите период колебаний, системы, состоящей из этих двух пружин и шарика (пружины соединяются последовательно).

    ДАНО: РЕШЕНИЕ

    1. Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле
    2. Применим эту формулу к первому и второму значению периода и выразим из этих формул коэффициенты жёсткости пружин
    3. При некотором сжатии (или растяжении) в каждой из пружин возникнут силы упругости. Пусть в пружине, конец которой зафиксирован, возникает сила упругости F

    1 (которая будет действовать на вторую пружину). В свою очередь, во второй пружине тоже возникнет сила упругости, которая будет действовать на первую пружину (обозначим её заF 2).

    • Запишем закон Гука
    • Применим его для сил F
    • 1 иF 2
    • Очевидно, что смещение шарика будет определяться как
    • Тогда
    • Тогда период колебаний пружинного маятника

    Ответ

    : 9,43 с.

    Уравнения колебаний пружинного маятника

    1. Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

    2. Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:
    3. F(t) = ma(t) = — mw2x(t),
    4. где w — радиальная частота гармонического колебания.
    5. Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

    Частота и период колебаний пружинного маятника

    Груз на пружине выполняет гармонические колебания:

    • круговая (циклическая) частота которых равна:$omega = sqrt{frac{k}{m}}(6)$
    • период колебаний составляет:$T=frac{2pi}{omega}=2pisqrt{frac{m}{k}}(7).$
    • частота колебаний его:$
      u=frac{1}{T}=frac {omega}{2pi}=frac{1}{2pi}sqrt{frac{k}{m}}(8).$

    Мы видим в (7), что период колебаний пружинного маятника не зависит от амплитуды. Данное свойство колебаний называют изохронностью. Колебания пружинного маятника являются изохронными, пока выполняется закон Гука. Если растяжения становятся большими, то закон Гука будет нарушаться, тогда возникает зависимость периода колебаний от амплитуды.

    Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

    При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

    https://www.youtube.com/watch?v=ptpZdqBr_sk\u0026t=1s

    Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

    Факторы, от которых зависит частота:

  • Коэффициент упругости.

    На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

  • Масса груза.

    От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

  • 2.2. Свободные колебания. Пружинный маятник

    Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

    Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

      Обзор сушильных камер для древесины

    F (t) = ma (t) = –m ω2 x (t).

    В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

    Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

    Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

    Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет
    • Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:
    • откуда
    • Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.
    • Период T гармонических колебаний груза на пружине равен

    При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза. В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную

    и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

    1. Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:
    2. Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде
    3. или
    4. где Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

    (*)

    Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний.

    Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T.

    Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

    • Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то xm = Δl, φ0 = 0.
    • Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то ,
    • Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза φ0 определяются начальными условиями.
    Модель. Колебания груза на пружине

    Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.

    2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс.

    При повороте диска на угол θ возникает момент сил Mупр упругой деформации кручения:

    Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23)

    где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε – угловое ускорение.

    По аналогии с грузом на пружине можно получить:

    Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

    Рисунок 2.2.2. Крутильный маятник

    Энергия пружинного маятника

    При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

    1. Потенциальная энергия:
    2. Кинетическая энергия:
    3. Полная энергия:
    4. Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:
  • Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.
  • В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.
  • Влияние силы трения при расчете не учитывают.
  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector