Максимальная скорость пружинного маятника формула

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием. 

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника. 

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

  • сама колебательная система
  • источник энергии
  • устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

  • Формула периода колебаний
  • T  = t/N
  • T — период [с]
  • t — время [с]
  • N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

  1. Формула частоты
  2. ν  = N/t = 1/T
  3. ν — частота [Гц]
  4. t — время [с]
  5. T — период [с]
  6. N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо xmax.

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением: 

  • Уравнение гармонических колебаний
  • x = xmaxcos(2πνt)
  • x — координата в момент времени t [м]
  • xmax — амплитуда [м]
  • ν — частота [Гц]
  • t — момент времени [с]
  • π = 3,14

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

  1. Фаза колебаний
  2. φ = 2πνt
  3. φ — фаза [рад]
  4. ν — частота [Гц]
  5. t — момент времени [с]
  6. π = 3,14

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:
Максимальная скорость пружинного маятника формула

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу. 

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

  • В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.
  • Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника Максимальная скорость пружинного маятника формула

  • T — период [с]
  • l — длина нити [м]
  • g — ускорение свободного падения [м/с2]
  • На планете Земля g = 9,8 м/с2
  • π = 3,14

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника Максимальная скорость пружинного маятника формула

  1. T — период [с]
  2. m — масса маятника [кг]
  3. k — жесткость пружины [Н/м]
  4. π = 3,14

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии. 

Рассмотрим его на примере математического маятника.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

  • Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
  • Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Как воспитать в ребёнке желание учиться

Бесплатный интенсив для думающих родителей от онлайн-школы Skysmart

Пружинный маятник

  • «Мир, в котором мы живём,
  • удивительно склонен к колебаниям….
  • Колеблются даже атомы,
  • из которых мы состоим».
  • Данная тема посвящена решению задач на пружинный маятник.

Задача 1. На пружину с жёсткостью 50 Н/м подвешивают груз массой 3 кг. За какое время груз совершит 30 полных колебаний?

ДАНО: Максимальная скорость пружинного маятника формула Максимальная скорость пружинного маятника формула Максимальная скорость пружинного маятника формула РЕШЕНИЕ Период колебаний пружинного маятника может быть определён по формуле Максимальная скорость пружинного маятника формула Период колебаний, в общем случае также рассчитывается по формуле Приравняем эти формулы и выразим искомое время Максимальная скорость пружинного маятника формула Максимальная скорость пружинного маятника формула
Максимальная скорость пружинного маятника формула

Ответ: 46,2 с.

Задача 2. К пружине подвешен груз массой 100 г. После того, как массу груза увеличили, период колебаний увеличился в 2,5 раза. Найдите массу, на которую увеличили массу груза.

ДАНО: Максимальная скорость пружинного маятника формула Максимальная скорость пружинного маятника формула СИ
  1. РЕШЕНИЕ
  2. Период колебаний пруженного маятника определяется по формуле
  3. Применим эту формулу для начального и конечного периодов

Т.к. по условию задачи

  • То получаем
  • Преобразуем данное выражение
Читайте также:  Как подключить приставку к телевизору витязь

Ответ: 525 г.

Задача 3. Шарик массой 400 г подвешен на пружине. Собственная частота колебаний шарика равна 15 рад/с, а начальная амплитуда колебаний равна 40 см. Известно, что система теряет энергию со скоростью 2 Дж/с. Через какое время после начала затухания колебаний шарик остановится?

  1. ДАНО:
  • СИ
  1. РЕШЕНИЕ
  2. Энергия пружинного маятника рассчитывается по формуле
  3. Собственная частота пружинного маятника определяется по формуле
  4. Выразим из этой формулы коэффициент жёсткости и подставим его в первую формулу
  5. Составим уравнение, учитывая то, что шарик остановится в тот момент, когда система исчерпает свою энергию (то есть, начальная энергия будет уменьшаться с указанной в задаче скоростью, в течение определённого промежутка времени)

Ответ: 3,6 с.

Задача 4. Пружинный маятник совершает колебания по закону косинуса. Известно, что максимальная скорость, достигаемая системой при колебаниях равна 3 м/с, а период колебаний составляет 10 с. Постройте графики зависимости координаты и скорости от времени. Сдвиг фаз равен нулю.

  • ДАНО:
  1. РЕШЕНИЕ
  2. Запишем уравнение гармонических колебаний
  3. Циклическую частоту пружинного маятника можно рассчитать по формуле
  4. С другой стороны циклическая частота определяется как
  5. Запишем закон сохранения энергии для пружинного маятника
  6. При колебаниях потенциальная энергия переходит в кинетическую и наоборот, поэтому, полную энергию можно приравнять к максимальной кинетической или максимальной потенциальной энергии.
  7. Приравняем эти две формулы и выразим амплитуду
  8. Тогда с учетом значений амплитуды и циклической частоты уравнение гармонических колебаний примет вид
  9. Скорость гармонических колебаний описывается уравнением
  10. Тогда получаем
  11. По полученным зависимостям построим требуемые в условии задачи графики

Задача 5. Шарик, прикреплённый к пружине, совершает колебания в горизонтальной плоскости с периодом 5 с. Если эту пружину заменить на другую, то период колебаний станет равен 8 с. Найдите период колебаний, системы, состоящей из этих двух пружин и шарика (пружины соединяются последовательно).

  • ДАНО:
  1. РЕШЕНИЕ
  2. Период колебаний пружинного маятника определяется по формуле
  3. Применим эту формулу к первому и второму значению периода и выразим из этих формул коэффициенты жёсткости пружин

При некотором сжатии (или растяжении) в каждой из пружин возникнут силы упругости. Пусть в пружине, конец которой зафиксирован, возникает сила упругости F1 (которая будет действовать на вторую пружину). В свою очередь, во второй пружине тоже возникнет сила упругости, которая будет действовать на первую пружину (обозначим её за F2).

  • Запишем закон Гука
  • Применим его для сил F1 и F2
  • Очевидно, что смещение шарика будет определяться как
  • Тогда
  • Тогда период колебаний пружинного маятника

Ответ: 9,43 с.

Механические колебания и волны – FIZI4KA

ЕГЭ 2018 по физике ›

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Механические колебания – периодически повторяющееся перемещение материальной точки, при котором она движется по какой-либо траектории поочередно в двух противоположных направлениях относительно положения устойчивого равновесия.

Отличительными признаками колебательного движения являются:

  • повторяемость движения;
  • возвратность движения.

Для существования механических колебаний необходимо:

  • наличие возвращающей силы – силы, стремящейся вернуть тело в положение равновесия (при малых смещениях от положения равновесия);
  • наличие малого трения в системе.

Механические волны – это процесс распространения колебаний в упругой среде.

Виды волн

  • Поперечная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит перпендикулярно направлению распространения волны.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Поперечная волна представляет собой чередование горбов и впадин.
Поперечные волны возникают вследствие сдвига слоев среды относительно друг друга, поэтому они распространяются в твердых телах.

  • Продольная – это волна, в которой колебание частиц среды происходит в направлении распространения волны.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Продольная волна представляет собой чередование областей уплотнения и разряжения.
Продольные волны возникают из-за сжатия и разряжения среды, поэтому они могут возникать в жидких, твердых и газообразных средах.

Важно!
Механические волны не переносят вещество среды. Они переносят энергию, которая складывается из кинетической энергии движения частиц среды и потенциальной энергии ее упругой деформации.

Гармонические колебания

Гармонические колебания – простейшие периодические колебания, при которых координата тела меняется по закону синуса или косинуса:

Максимальная скорость пружинного маятника формула

где ​( x )​ – координата тела – смещение тела от положения равновесия в данный момент времени; ​( A )​ – амплитуда колебаний; ​( omega t+varphi_0 )​ – фаза колебаний; ​( omega )​ – циклическая частота; ​( varphi_0 )​ – начальная фаза.

Если в начальный момент времени тело проходит положение равновесия, то колебания являются синусоидальными.

Максимальная скорость пружинного маятника формула

Если в начальный момент времени смещение тела совпадает с максимальным отклонением от положения равновесия, то колебания являются косинусоидальными.

Скорость гармонических колебаний
Скорость гармонических колебаний есть первая производная координаты по времени:

Максимальная скорость пружинного маятника формула

где ​( v )​ – мгновенное значение скорости, т. е. скорость в данный момент времени.

Амплитуда скорости – максимальное значение скорости колебаний, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Ускорение гармонических колебаний
Ускорение гармонических колебаний есть первая производная скорости по времени:

Максимальная скорость пружинного маятника формула

где ​( a )​ – мгновенное значение ускорения, т. е. ускорение в данный момент времени.

Амплитуда ускорения – максимальное значение ускорения, это величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Если тело совершает гармонические колебания, то сила, действующая на тело, тоже изменяется по гармоническому закону:

Максимальная скорость пружинного маятника формула

где ​( F )​ – мгновенное значение силы, действующей на тело, т. е. сила в данный момент времени.

  • Амплитуда силы – максимальное значение силы, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
  • Тело, совершающее гармонические колебания, обладает кинетической или потенциальной энергией:

где ​( W_k )​ – мгновенное значение кинетической энергии, т. е. кинетическая энергия в данный момент времени.

  1. Амплитуда кинетической энергии – максимальное значение кинетической энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:
  2. При гармонических колебаниях каждую четверть периода происходит переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно.
    В положении равновесия:
  • потенциальная энергия равна нулю;
  • кинетическая энергия максимальна.

При максимальном отклонении от положения равновесия:

  • кинетическая энергия равна нулю;
  • потенциальная энергия максимальна.

Полная механическая энергия гармонических колебаний
При гармонических колебаниях полная механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий в данный момент времени:

Важно!
Следует помнить, что период колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза меньше, чем период колебаний координаты, скорости, ускорения и силы. А частота колебаний кинетической и потенциальной энергий в 2 раза больше, чем частота колебаний координаты, скорости, ускорения и силы.

Графики зависимости кинетической, потенциальной и полной энергий всегда лежат выше оси времени.

Если сила сопротивления отсутствует, то полная энергия сохраняется. График зависимости полной энергии от времени есть прямая, параллельная оси времени (в отсутствие сил трения).

Амплитуда и фаза колебаний

Амплитуда колебаний – модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия.
Обозначение – ​( A, (X_{max}) )​, единицы измерения – м.

Фаза колебаний – это величина, которая определяет состояние колебательной системы в любой момент времени.
Обозначение – ​( varphi )​, единицы измерения – рад (радиан).

Фаза колебаний – это величина, стоящая под знаком синуса или косинуса. Она показывает, какая часть периода прошла от начала колебаний.
Фаза гармонических колебаний в процессе колебаний изменяется.

​( varphi_0 )​ – начальная фаза колебаний.

Начальная фаза колебаний – величина, которая определяет положение тела в начальный момент времени.

Читайте также:  Как крепится токарный патрон

Важно!
Путь, пройденный телом за одно полное колебание, равен четырем амплитудам.

Период колебаний

Период колебаний – это время одного полного колебания.
Обозначение – ​( T )​, единицы измерения – с.

Период гармонических колебаний – постоянная величина.

Частота колебаний

Частота колебаний – это число полных колебаний в единицу времени.
Обозначение – ​(
u )​, единицы времени – с-1 или Гц (Герц).

  • 1 Гц – это частота такого колебательного движения, при котором за каждую секунду совершается одно полное колебание:
  • Период и частота колебаний – взаимно обратные величины:

Циклическая частота – это число колебаний за 2π секунд.
Обозначение – ​( omega )​, единицы измерения – рад/с.

Свободные колебания (математический и пружинный маятники)

Свободные колебания – колебания, которые совершает тело под действием внутренних сил системы за счет начального запаса энергии после того как его вывели из положения устойчивого равновесия.

Условия возникновения свободных колебаний:

  • при выведении тела из положения равновесия должна возникнуть сила, стремящаяся вернуть его в положение равновесия;
  • силы трения в системе должны быть достаточно малы. При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.

При наличии сил трения свободные колебания будут затухающими.
Затухающие колебания – это колебания, амплитуда которых с течением времени уменьшается.

  1. Математический маятник – это материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити.
  2. Период колебаний математического маятника:
  3. Частота колебаний математического маятника:
  4. Циклическая частота колебаний математического маятника:
  5. Максимальное значение скорости колебаний математического маятника:
  6. Максимальное значение ускорения колебаний математического маятника:
  7. Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вверх с ускорением или вниз с замедлением:
  8. Период свободных колебаний математического маятника, движущегося вниз с ускорением или вверх с замедлением:
  9. Период свободных колебаний математического маятника, горизонтально с ускорением или замедлением:
  10. Мгновенное значение потенциальной энергии математического маятника, поднявшегося в процессе колебаний на высоту ​( h )​, определяется по формуле:
  11. где ​( l )​ – длина нити, ​( alpha )​ – угол отклонения от вертикали.
  12. Пружинный маятник – это тело, подвешенное на пружине и совершающее колебания вдоль вертикальной или горизонтальной оси под действием силы упругости пружины.
  13. Период колебаний пружинного маятника:
  14. Частота колебаний пружинного маятника:
  15. Циклическая частота колебаний пружинного маятника:
  16. Максимальное значение скорости колебаний пружинного маятника:
  17. Максимальное значение ускорения колебаний пружинного маятника:
  18. Мгновенную потенциальную энергию пружинного маятника можно найти по формуле:
  19. Амплитуда потенциальной энергии – максимальное значение потенциальной энергии, величина, стоящая перед знаком синуса или косинуса:

Важно!
Если маятник не является ни пружинным, ни математическим (физический маятник), то его циклическую частоту, период и частоту колебаний по формулам, применимым к математическому и пружинному маятнику, рассчитать нельзя. В данном случае эти величины рассчитываются из формулы силы, действующей на маятник, или из формул энергий.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания – это колебания, происходящие под действием внешней периодически изменяющейся силы.

Вынужденные колебания, происходящие под действием гармонически изменяющейся внешней силы, тоже являются гармоническими и незатухающими. Их частота равна частоте внешней силы и называется частотой вынужденных колебаний.

Резонанс

  • Резонанс – явление резкого возрастания амплитуды колебаний, которое происходит при совпадении частоты вынуждающей силы и собственной частоты колебаний тела.
  • Условие резонанса:
  • ​( v_0 )​ – собственная частота колебаний маятника.

На рисунке изображены резонансные кривые для сред с разным трением.

Чем меньше трение, тем выше и острее резонансная кривая.

Явление резонанса учитывается при периодически изменяющихся нагрузках в машинах и различных сооружениях.
Также резонанс используется в акустике, радиотехнике и т. д.

Длина волны

Длина волны – это расстояние, на которое волна распространяется за один период, т. е. это кратчайшее расстояние между двумя точками среды, колеблющимися в одинаковых фазах.
Обозначение – ​( lambda )​, единицы измерения – м.

  1. Расстояние между соседними гребнями или впадинами в поперечной волне и между соседними сгущениями или разряжениями в продольной волне равно длине волны.
  2. Скорость распространения волны – это скорость перемещения горбов и впадин в поперечной волне и сгущений или разряжений в продольной волне.

Звук

Звук – это колебания упругой среды, воспринимаемые органом слуха.

Условия, необходимые для возникновения и ощущения звука:

  • наличие источника звука;
  • наличие упругой среды между источником и приемником звука;
  • наличие приемника звука; • частота колебаний должна лежать в звуковом диапазоне;
  • мощность звука должна быть достаточной для восприятия.

Звуковые волны – это упругие волны, вызывающие у человека ощущение звука, представляющие собой зоны сжатия и разряжения, передающиеся на расстояние с течением времени.

Классификация звуковых волн:

  • инфразвук (​(
    u )​ < 16 Гц);
  • звуковой диапазон (16 Гц < ( u ) < 20 000 Гц);
  • ультразвук ((
    u ) > 20 000 Гц).

Скорость звука – это скорость распространения фазы колебания, т. е. области сжатия и разряжения среды.

Скорость звука зависит

  • от упругих свойств среды:
  • в воздухе – 331 м/с, в воде – 1400 м/с, в металле – 5000 м/с;
  • в воздухе при температуре 0°С – 331 м/с,
    в воздухе при температуре +15°С – 340 м/с.
  • Характеристики звуковой волны
  • Громкость – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от амплитуды колебаний в звуковой волне. Единицы измерения – дБ (децибел).
  • Высота тона – это величина, характеризующая слуховые ощущения человека, зависящая от частоты колебаний в звуковой волне. Чем больше частота, тем выше звук. Чем меньше частота, тем ниже звук.
  • Тембр – это окраска звука.

Музыкальный звук – это звук, издаваемый гармонически колеблющимся телом. Каждому музыкальному тону соответствует определенная длина и частота звуковой волны.
Шум – хаотическая смесь тонов.

Основные формулы по теме «Механические колебания и волны»

    Механические колебания

    Колебания ― это процесс, при котором состояние системы изменяется, повторяясь во времени, и смещаясь то в одну, то в другую сторону относительно состояния равновесия.

    Период ― это время, через которое повторяются показатели системы, т. е. система совершает одно полное колебание. Период изменяется в секундах.

    Частота ― величина обратная периоду: число полных колебаний за единицу времени. Частота измеряется в герцах [Гц] = [c-1]. Частота равна v = $frac{1}{T}$ , где

    • v ― частота [Гц];
    • T ― период [c].
    • Если известно, что тело совершает N колебаний за время t, то частоту его колебаний можно определить как v = $frac{N}{t}$ , где
    • ν ― частота [Гц];
    • N ― количество колебаний;
    • t - время [с].
    • Для описания колебательных систем, совершающих круговые процессы, удобно использовать круговую (циклическую) частоту. Циклическая частота показывает количество полных колебаний, которые происходят за 2π секунд и равна ω = 2πvили ω = $frac{2pi}{T}$ , где
    • ω ― циклическая частота [рад/с];
    • ν ― частота [Гц];
    • T ― период [c].
    • Гармонические колебания ― колебания, в которых физические величины изменяются по закону синуса или косинуса. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:
    • x(t) = Asin(ωt + φ0) или x(t) = Acos(ωt + φ0), где
    • x ― смещение [м];
    • t ― время, [с];
    • A ― амплитуда колебаний [м];
    • ω ― циклическая частота [рад/с];
    • φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];
    • (ωt + φ0) ― полная фаза колебаний [рад].

    Максимальная скорость пружинного маятника формула

    Смещение (x) ― это отклонение тела от положения равновесия. Смещение также является координатой тела, если отсчитывать ее от положения равновесия.

    Амплитуда колебаний (A) ― максимальное отклонение колеблющейся величины от положения равновесия, т. е. максимальное смещение равно амплитуде колебаний xmax = A.

    1. Начальная фаза колебаний (φ0) определяет смещение в начальный момент времени, выраженное в радианах.
    2. Фаза колебаний (φ) или полная фаза колебаний, определяет смещение в данный момент времени, выраженное в радианах. Фаза колебаний равна φ = ωt + φ0, где
    3. φ ― полная фаза колебаний [рад];
    4. φ0 ― начальная фаза колебаний, [рад];
    5. ω ― циклическая частота [рад/с];
    6. t ― время, [с].
    7. Пример анализа гармонических колебаний точки
    8. Рассмотрим гармонические колебания, в которых уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), где
    9. x ― смещение [м];
    10. t ― время, [с];
    11. A — амплитуда колебаний [м];
    12. ω ― циклическая частота [рад/с].
    Читайте также:  Сосна черная: описание дерева, в ландшафтном дизайне, распространение

    Из уравнения x(t) = Asin(ωt) следует, что начального смещения нет (φ0 = 0) и колебания начинаются из положения равновесия.

    Смещение x достигает максимального значения xmax и равно амплитуде xmax = A, в тот момент, когда модуль синуса равен единице |sin(ωt)| = 1.

    Когда x = A фаза колебаний равна φ = $frac{pi}{2} +2pi n$ когда x = –A фаза колебаний принимает значения φ = $frac{3pi}{2} +2pi n$ , где n = 0, 1 , 2, … N.

    График колебания координаты точки имеет вид:

    Максимальная скорость пружинного маятника формула

    • Определим уравнение и график колебания скорости. Скорость ― это производная координаты по времени: v = xt', где
    • v ― скорость движения точки [м/с];
    • x ― координата точки [м];
    • t ― время, [с].
    • Так как закон изменения координаты нам известен x(t) = Asin(ωt), скорость движения колеблющейся точки: v = xt' = |Asin(ωt)|'t = Acos(ωt).
    • Уравнение скорости точки равно v(t) = Acos(ωt), где
    • v ― скорость движения точки [м/с];
    • A — амплитуда колебаний [м];
    • ω ― циклическая частота [рад/с];
    • t ― время, [с].

    Сравнив уравнение v(t) = Aωcos(ωt) с кинематическим уравнением гармонических колебаний, легко заметить, что Aω ― амплитуда изменения скорости, а ωt ― фаза колебаний скорости. Таким образом, максимальное значение скорости равно vmax = Aω, и оно достигается при | cos(ωt) | = 1, т. е. тогда, когда фаза колебаний скорости равна φ = πn, где n = 0, 1, 2, … N.

    График колебания скорости точки имеет вид:

    Максимальная скорость пружинного маятника формула

    1. Аналогично определяются уравнение и график колебания ускорения точки, которая движется по гармоническому закону.
    2. Ускорение ― это производная скорости по времени: a = vt', где
    3. a ― ускорение движения точки [м/с2];
    4. v ― скорость движения точки [м/с];
    5. t ― время, [с].
    6. Так как закон изменения скорости был определен выше v(t) = Aωcos(ωt), определим ускорения движения колеблющейся точки: a = vt' = [Aωcos(ωt)]t' = –Aω2sin(ωt).
    7. Уравнение ускорения точки равно a(t) = –Aω2sin(ωt), где
    8. a ― ускорение движения точки [м/с2];
    9. A — амплитуда колебаний [м];
    10. ω ― циклическая частота [рад/с];
    11. t ― время, [с].

    Модуль ускорения точки максимален, когда |sin(ωt)| = 1 ― тогда же, когда достигает максимума смещение точки. Максимальное ускорение, т. е. амплитуда ускорения точки равна amax = Aω2.

    График колебания ускорения точки имеет вид:

    Максимальная скорость пружинного маятника формула

    Во время гармонических колебаний, формы энергии колебательной системы все время находятся в процессе взаимной трансформации.

    В механической колебательной системе преобразуется механическая энергия: потенциальная энергия ― в кинетическую, а затем кинетическая энергия ― вновь в потенциальную.

    Полная механическая энергия колеблющейся системы постоянна, и в любой момент времени справедлив закон сохранения энергии E = EП + EK, где

    • E ― полная механическая энергия системы, E = const, [Дж];
    • EП ― потенциальная энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж];
    • EK ― кинетическая энергия системы, изменяющаяся во времени, [Дж].
    • Рассмотрим изменение потенциальной энергии пружинного маятника, который колеблется по гармоническому уравнению x(t) = Asin(ωt).

    Максимальная скорость пружинного маятника формула

    1. Потенциальная энергия деформированной пружины равна EП = $frac{kx^2}{2}$ , где
    2. EП ― потенциальная энергия деформированной пружины, [Дж];
    3. k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
    4. x ― деформация пружины (величина ее удлинения или сжатия) [м].

    У пружинного маятника деформация пружины ― переменная величина, которая зависит от времени. Кинематическое уравнение движения точки, принадлежащей этому маятнику ― x(t) = Asin(ωt). Следовательно, потенциальную энергию пружинного маятника можно записать как EП = $frac{k(x(t))^2}{2}$ = $frac{k(Asin(omega t))^2}{2}$ = $frac{k}{2} cdot A^2 sin^2 (omega t)$ .

    • Уравнение потенциальной энергии пружинного маятника EП = $frac{k}{2} cdot A^2 sin^2 (omega t)$ , где
    • EП ― потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];
    • k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
    • A — амплитуда колебаний [м];
    • ω ― циклическая частота [рад/с];
    • t ― время, [с].
    • Амплитуда потенциальной энергии пружинного маятника равна EПmax = $frac{k}{2}A^2$ , где
    • EПmax ― максимальная потенциальная энергия пружинного маятника, [Дж];
    • k ― коэффициент упругости пружины [Н/м];
    • A — амплитуда колебаний [м].

    Потенциальная энергия пружинного маятника равна нулю, когда sin(ωt) = 0 ― когда маятник проходит положение равновесия, и максимальна, когда sin(ωt) = 1 ― когда маятник находится в крайних положениях, т. е. когда его смещение равно амплитуде.

    График колебаний потенциальной энергии пружинного маятника:

    Максимальная скорость пружинного маятника формула

    1. Рассмотрим изменение кинетической энергии маятника. Кинетическая энергия тела равна Eк = $frac{mv^2}{2}$ , где
    2. Eк ― кинетическая энергия тела, [Дж];
    3. m ― масса тела, [кг];
    4. v ― скорость движения тела, [м/с].
    5. У тела, которое совершает колебательные движения, скорость ― переменная величина.

    Выше было показано, что если уравнение движения точки имеет вид x(t) = Asin(ωt), то уравнение скорости точки v(t) = Aωcos(ωt). Таким образом, кинетическая энергия маятника равна Eк = $frac{m(v(t))^2}{2}$ = $frac{m}{2} cdot (Aomegacos(omega t))^2$ = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ .

    • Уравнение кинетической энергии маятника Eк = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2 cos^2 (omega t)$ , где
    • Eк ― кинетическая энергия маятника, [Дж];
    • m ― масса тела, [кг];
    • A — амплитуда колебаний [м];
    • ω ― циклическая частота [рад/с];
    • t ― время, [с].
    • Амплитуда кинетической энергии маятника равна EКmax = $frac{m}{2} cdot A^2 omega^2$ , где
    • EКmax ― максимальная кинетическая энергия маятника, [Дж];
    • m ― масса тела, [кг];
    • A — амплитуда колебаний [м];
    • ω ― циклическая частота [рад/с].
    • Максимальная кинетическая энергия маятника достигается тогда, когда cos2(ωt) = 1 ― маятник проходит положение равновесия, и она равна нулю, когда маятник находится в крайнем положении.
    • График колебаний кинетической энергии маятника:

    Максимальная скорость пружинного маятника формула

    1. Математический маятник ― это колебательная система, состоящая из материальной точки, подвешенной на нерастяжимой нити или стержне.
    2. Период колебаний математического маятника равен T = $2pi sqrt{frac{l}{g}}$ , где
    3. T ― период колебаний [с];
    4. l ― длина нити математического маятника [м];
    5. g ― ускорение свободного падения [м/с2].
    6. Период колебаний пружинного маятника равен T = $2pi sqrt{frac{m}{k}}$ , где
    7. T ― период колебаний [с];
    8. m ― масса груза [кг];
    9. k ― жесткость пружины [Н/м].

    Существует особый тип колебаний ― вынужденные колебания. Вынужденные колебания происходят только под постоянным периодическим внешним воздействием и их характеристики зависят от характеристик этого воздействия.

    Если частота внешнего воздействия, которое вызывает вынужденные колебания, совпадает с собственной внутренней частотой колебательной системы ― возникает явление резонанса. При резонансе резко возрастает амплитуда колебаний системы. Частота, при которой возникает явление резонанса, называется резонансной частотой.

    На рисунке показан график резонансной кривой ― увеличение амплитуды при совпадении частоты внешнего воздействия с внутренней частотой системы.

    Пружинный маятник

    Колебания пружинного маятника.
    В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х. Максимальная скорость пружинного маятника формула
    Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: Максимальная скорость пружинного маятника формула. Но ,
    тогда: Максимальная скорость пружинного маятника формула.
    Или  — ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.
    Выразим ускорение:.
    Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .
    Видно, что  или  — циклическая частота при колебаниях пружинного маятника.
    Период колебаний  или  (формула Гюйгенса). Формула Гюйгенса: 
    Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической.
    Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:.
    Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то .
    Производная суммы равна сумме производных: Максимальная скорость пружинного маятника формула и Максимальная скорость пружинного маятника формула.
    Следовательно:Максимальная скорость пружинного маятника формула,  а значит .
    В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий.
    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector