вашего сайта -->

Относительной деформацией при кручении равна

  • Напряжения и деформации при кручении.
  • Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz.
  • Стержень круглого поперечного сечения, работающий на кручение, называется валом.

Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят.

С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 5.7):

  1. Относительной деформацией при кручении равна
  2. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Oz.
  3. Относительной деформацией при кручении равна

Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 5.8) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня: При кручении длина вала не меняется, следовательно, в попе-речных сечениях отсутствуют нормальные напряжения.

Каждое последующее сечение сдвигается относительно предыдущего на угол , называемый углом сдвига, следовательно, в попе-речных сечениях вала возникают только касательные напряжения и сечения испытывают напряженное состояние чистого сдвига.

При выводе формулы касательных напряжений на основании опыта были приняты следующие гипотезы: 1. При кручении выполняется гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли). 2. Радиусы, проведенные в поперечном сечении, при кручении не искривляются. 3.

Расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно, εz=0.

Относительной деформацией при кручении равна

На рис. 5.8 изображена деформация вала при кручении. Двумя поперечными сечениями выделим из вала элемент длиной dz. На рисунке 5.8 условно принято, что левое сечение элемента вала dz остается неподвижным, а правое поворачивается на угол — угол поворота сечения. Угол сдвига определяется как:

  • Относительной деформацией при кручении равна
  • где
  • тносительный угол закручивания, [рад/м].
  • Используя закон Гука для чистого сдвига, получим:
  • Относительной деформацией при кручении равна
  • По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:
Решение задач по математике

Выделим в поперечном сечении вала элементарное кольцо толщиной dρ (рис. 5.9). Элементарные τ·dAприводят возникновению крутящего момента:

Относительной деформацией при кручении равна

Подставив (5.19) в (5.17) получим формулу для определения касательных напряжений при кручении:

Относительной деформацией при кручении равна

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Как видно из формулы (5.20), касательные напряжения пропорциональны расстоянию от оси стержня.Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня при ρ=r.

По закону о парности касательных

напряжений формула (5.20) определяет касательные напряжения в плоскости поперечного сечения и в перпендикулярной ей плоскости продольного сечения вала (рис.5.10).

Перепишем формулу (5.20) для максимальных касательных напряжений через полярный момент сопротивления сечения :

Относительной деформацией при кручении равна

Подставив формулу (5.21) в (5.20) получим:

  1. Относительной деформацией при кручении равна
  2. Деформацией вала является угол закручивания, который находим из формулы (5.19):

Формула (5.25) определяет угол закручивания для одного участка вала. Если вал имеет n участков, то угол закручивания вала определяется как сумма углов закручивания:

  • Если на каждом участке вала крутящий момент постоянен, то угол закручивания можноопределить по следующей формуле:

Угол закручивания вала не является критерием его жесткости, т.к. на отдельных участках он может быть большим, а суммарный окажется малым, поэтому критерием жестокости вала является относительный угол закручивания, т.е. угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала:

где – жесткость вала при кручении.

Тема 2.5. Кручение. Напряжения и деформации при кручении

Заказать ✍️ написание работы

  • Иметь представление о напряжении и деформациях при кру­чении, о моменте сопротивления при кручении.
  • Знать формулы для расчета напряжений в точке поперечного сечения, закон Гука при кручении.
  • Напряжения при кручении

Проводим на поверхности бруса сетку из продольных и поперечных линий и рассмотрим рисунок, об­разовавшийся на поверхности после деформации (рис. 27.1а). Поперечные окружности, оставаясь плоскими, по­ворачиваются на угол (р, продольные линии искривляются, прямоугольники превращаются в параллелограммы. Рассмотрим элемент бруса 1234 после деформации.

При выводе формул используем закон Гука при сдвиге и гипоте­зы плоских сечений и неискривления радиусов поперечных сечений.

При кручении возникает напряженное состояние, называемое «чистый сдвиг» (рис. 27.1б).

При сдвиге на боковой поверхности элемента 1234 возникают касательные напряжения, равные по величине (рис. 27.1в), элемент деформируется (рис. 27.1 г).

Относительной деформацией при кручении равна

Закон Гука при сдвиге

G — модуль упругости при сдвиге, Н/мм2; γ — угол сдвига, рад.

Напряжение в любой точке поперечного сечения

Относительной деформацией при кручении равна Рассмотрим поперечное сечение круглого бруса. Под действием внешнего момента в каждой точке поперечного сечения возникают силы упругости dQ (рис. 27.2).

где τ — касательное напряжение; dA — элементарная площадка.

В силу симметрии сечения силы dQ образуют пары (см. лек­цию 26).

Элементарный момент силы dQ относительно центра круга

где ρ— расстояние от точки до центра круга.

Суммарный момент сил упругости получаем сложением (инте­грированием) элементарных моментов:

Относительной деформацией при кручении равна

После преобразования получим формулу для определения на­пряжений в точке поперечного сечения:

Относительной деформацией при кручении равна

При ρ = 0 τк = 0; касательное напряжение при кручении пропорционально расстоянию от точки до центра сечения.

Полученный интеграл Jv (лекция 25) называется полярным мо­ментом инерции сечения. Jv является геометрической характеристи­кой сечения при кручении. Она характеризует сопротивление сече­ния скручиванию.

Относительной деформацией при кручении равна Анализ полученной формулы для Jv показывает, что слои, рас­положенные дальше от центра, испытывают большие напряжения.

Эпюра распределения касательных напряжений при кручении (рис. 27.3)

  1. Мк — крутящий момент в сече­нии;
  2. рв — расстояние от точки В до центра;
  3. тв — напряжение в точке В]
  4. ттах — максимальное напряже­ние.
  5. Максимальные напряжения при кручении
  6. Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.
  7. Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρтах = d/2, где d — диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывает­ся по формуле (см. лекцию 25).

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Относительной деформацией при кручении равна

  • Обычно JP/pmax обозначают Wp и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения
  • Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу
  • Для круглого сечения
  • Для кольцевого сечения
  • Условие прочности при кручении
  • Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности
  • где [τк] — допускаемое напряжение кручения.
  • Виды расчетов на прочность
  1. Существует два вида расчета на прочность.
  2. 1. Проектировочный расчет — определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:
  3. Откуда
  4. 2. Проверочный расчет — проверяется выполнение условия прочности
  5. 3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)
  6. Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

  • При кручении деформация оцени­вается углом закручивания (см. лекцию 26):
  • Здесь φ — угол закручивания; γ — угол сдвига; l — длина бруса; R — радиус; R =d/2. Откуда
  • Закон Гука имеет вид τк = . Подставим выражение для γ, получим
  • Откуда
  • Произведение GJP называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 • 105 МПа.

  1. Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φo.
  2. Условие жесткости при кручении можно записать в виде
  3. где φo — относительный угол закручивания, φо = φ/l; [φо] ≈ 1град/м = 0,02рад/м — допускаемый относительный угол закручивания.
  4. Примеры решения задач

Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала — сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φо] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 105 МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

  • Условие прочности при кручении:
  • Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:
  • Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении
  • Значения подставляем в ньютонах и мм.
  • Определяем диаметр вала:

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

  1. Условие жесткости при кручении:
  2. Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:
  3. Определяем диаметр вала:
Читайте также:  Как варить алюминий обычной сваркой

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд пред­почтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение dвала = 75 мм.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стан­дартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τтах = 40 Н/мм2. Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, б. Очевидно,

  • откуда

Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм2. Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в. Очевидно,

  1. Откуда

Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент Мz = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.

  • Решение
  • Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле
  • В рассматриваемом примере Мz = 3 кН-м = 3-106 Н• мм,
  • Подставляя числовые значения, получаем

Пример 5. Стальная труба (d0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т, приложенными в ее торцевых сечениях. Определить ве­личину т, при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.

  1. Решение
  2. Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле
  3. тогда
  4. В данном случае
  5. Подставляя числовые значения, получаем
  6. Вычисляем максимальные касательные напряжения:

Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а) построить эпюры крутящих моментов, максимальных каса­тельных напряжений, углов поворота поперечных сечений.

Решение

Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скру­чивающие) моменты и места изменения размеров попереч­ного сечения.

  • Пользуясь соотношением
  • строим эпюру крутящих моментов.
  • Построение эпюры Мz начинаем со свободного конца бруса:
  • для участков III и IV
  • для участка V

Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б. Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τшах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I

  1. на участке II
  2. на участке III
  3. на участке IV
  4. на участке V

Эпюра максимальных касательных напряжений пока­зана на рис. 2.38, в.

Угол поворота поперечного сечения бруса при посто­янных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле

Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φл = 0, так как в этом сечении брус закреплен.

Эпюра углов поворота поперечных сечений изображе­на на рис. 2.38, г.

Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.

39, а) передается от двигателя мощность NB = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности NA = 15 кВт и NC = 21 кВт.

Час­тота вращения вала п = 300 об/мин. Про­верить прочность и жесткость вала, если [τKJ = 30 Н/мм2, [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2, d1 = 45 мм, d2 = 50 мм.

  • Решение
  • Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:
  • где

Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответ­ствующий NА, положительным, Nc — отрицательным. Эпюра Mz показана на рис. 2.39, б. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ

  1. что меньше [тк] на
  2. Относительный угол закручивания участка АВ
  3. что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.
  4. Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС
  5. что меньше [тк] на
  6. Относительный угол закручивания участка ВС
  7. что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.
  8. Следовательно, прочность вала обеспечена, а жест­кость — нет.

Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 по­ступает на вал 2 мощность N1 = 15 кВт и к рабочим ма­шинам — мощности N2 = 2 кВт и N3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N4 = 7 кВт, N5 = 4 кВт, N6 = 4 кВт (рис. 2.

40, а). Определить диаметры валов d1 и d2 из условия прочности и жесткости, если [τKJ = 25 Н/мм2, [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-104 Н/мм2. Се­чения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D1 = 200 мм, D2 = 400 мм, D3 = 200 мм, D4 = 600 мм.

Сколь­жением в ременной передаче пренебречь.

Решение

Нарис. 2.40, б изобра­жен вал I. На него поступает мощность N и с него снимаются мощности Nl, N2, N3.

Определим угло­вую скорость враще­ния вала 1 и внешние скручивающие момен­ты m, m1, т2, т3:

Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N3 и N1, по­ложительными, а N — отрицательным. Расчетный (макси­мальный) крутящий момент Nx1 max = 354,5 H*м.

  • Диаметр вала 1 из условия прочности
  • Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)
  • Окончательно принимаем с округлением до стандарт­ного значения d1 = 58 мм.
  • Частота вращения вала 2

На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N1, а снимаются с него мощности N4, N5, N6.

Вычислим внешние скручивающие моменты:

Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент Мя max» = 470 H-м.

  1. Диаметр вала 2 из условия прочности
  2. Диаметр вала 2 из условия жесткости
  3. Окончательно принимаем d2=62 мм.

Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [тк] = 35 Н/мм2, [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I04 Н/мм2, n = 600 об/мин.

  • Решение
  • Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:
  • где

Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б.

На рис. 2.41, в пред­ставлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (мак­симальный) крутящий мо­мент Mz = 9,54N. Условие прочности

  1. откуда
  2. Условие жесткости
  3. откуда

Лимитирующим является условие жесткости. Следо­вательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском гугл на сайте:

Напряжения и деформации при кручении

Представим себе, что прямой круговой цилиндр, подвергаемый де­формации кручения, состоит из бесконечно большого количества воло­кон, параллельных оси. Полагаем, что при кручении справедлива гипоте­за о ненадавливании волокон.

Зная, что при кручении происходит деформация сдвига, естественно считать, что в точках поперечного сечения бруса возникают только каса­тельные напряжения т, перпендикулярные радиусу, соединяющему эти точки с осью кручения. Существование нормальных напряжений в про­дольном сечении исключено, так как справедлива гипотеза о ненадавли­вании волокон; нормальные напряжения в поперечном сечении не возни­кают, так как нет продольной силы.

На рис. 22.1 видно, что абсолютный сдвиг сечения волокна а равен дуге аа1, а сечения волокна b — дуге bb1:

Относительной деформацией при кручении равна
  • где — полный угол закручивания, рад; r — радиус цилиндра; — рас­стояние от волокна b до оси кручения.
  • Так как радиусы сечения при кручении остаются прямыми, то вели­чина абсолютного сдвига сечения волокон прямо пропорциональна их расстоянию от оси кручения.
  • Относительный сдвиг сечения волокна b

Относительной деформацией при кручении равна

Применим формулу закона Гука при сдвиге:

Относительной деформацией при кручении равна

При = 0 = 0, т. е. на оси кручения касательные напряжения рав­ны нулю.

При  =  = max, т. е. касательные напряжения достигают макси­мального значения у волокон, наиболее удаленных от оси кручения:

Так как относительный угол за­кручивания 0 есть величина посто­янная для данного цилиндрического бруса, то касательные напряжения при кручении прямо пропорциональ­ны расстоянию от точек сечения до оси кручения. Эпюра распределения напряжений вдоль радиуса сечения имеет вид треугольника (рис. 22.3).

Читайте также:  Флюс на основе хлористого цинка

Если брус состоит из одного уча­стка, т. е. имеет постоянное сечение и постоянный по длине участка крутя­щий момент, то касательные напря­жения в данном волокне будут по всей длине цилиндра одинаковы.

Перейдем к выводу формул для определения угла закручивания и на­пряжений в поперечном сечении в зависимости от крутящего момента.

Рассечем брус, изображенный на рис. 22.1, поперечной плоскостью, находящейся на расстоянии z от заделки, и рассмотрим полученное сече­ние (рис. 22.3). Выделим в сечении бесконечно малую площадку dA на расстоянии от оси кручения. Сила dQ, действующая на эту площадку, перпендикулярна радиусу и равна

откуда найдем относительный угол закручивания:
Полный угол закручивания цилиндра длиной l:

Определим момент внутренних сил относительно оси кручения, т. е. крутящий момент:

  1. Произведение GIp, стоящее в знаменателе, называется жестко­стью сечения при кручении.
  2. Итак, мы установили, что полный угол закручивания круглого ци­линдра прямо пропорционален крутящему моменту, длине цилиндра и обратно пропорционален жесткости сечения при кручении.
  3. Так как при выводе последней формулы мы применяли закон Гука, она справедлива в пределах, когда нагрузка и деформация прямо пропор­циональны.
  4. 226
  5. Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, отли­чающихся материалом, размерами поперечного сечения, значением кру­тящего момента, полный угол закручивания равен алгебраической сумме углов закручивания отдельных участков:
  6. Выведем формулу для определения напряжений:
  7. При  = r напряжения достигнут максимального значения:
  8. где Wp =Ip/r— момент сопротивления сечения кручению (или поляр­ный момент сопротивления).
  9. Момент сопротивления кручению равен отношению полярного момента инерции к радиусу сечения.
  10. Единица момента сопротивления кручению
  11. Итак, напряжения и деформации при кручении круглого цилиндра вычисляют по формулам
  12. Обратим внимание на то, что эти формулы по структуре аналогичны формулам для вычисления напряжений и деформаций при растяжении, сжатии и применимы лишь для участков бруса, имеющих одинаковый материал, постоянные поперечное сечение и крутящий момент.
  13. По закону парности касательных напряжений, последние возникают не только в поперечных, но и в продольных сечениях, поэтому, например, в деревянных брусьях при кручении возникают трещины вдоль волокон (древесина плохо работает на скалывание вдоль волокон).
  14. Из эпюры распределения касательных напряжений при кручении видно, что внутренние волокна бруса испытывают небольшие напряже­ния, поэтому валы иногда делают пустотелыми, чем достигается значи­тельный выигрыш в массе при незначительной потере прочности.
  15. Определим момент сопротивления кручению для круглого и кольце­вого сечений.
  16. 1. Круг диаметром d:
  17. 2. Кольцо размером D d:
  18. Отметим, что если полярный момент инерции кольцевого сечения можно определить как разность моментов инерции большого и малого кругов, то момент сопротивления кручению нельзя определять как раз­ность моментов сопротивлений этих кругов.

Пример 22.2. Стальной пруток длиной l= 1 м, диаметром d = 4 мм одним концом укреплен в зажиме, а на другом приложен скручивающий момент. При каком угле закручивания напряжение кручения будет равно 120 МПа? Модуль упругости второго рода G = 8,2 104 МПа.

Решение. Запишем формулы, необходимые для решения задачи: полный угол закручивания круглого цилиндра

  • максимальное напряжение при кручении
  • Учитывая, что полярный момент инерции
  • и подставляя числовые значения, получаем

Техническая механика



Кручением называют такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только крутящий момент, т. е. силовой фактор, вызывающий круговое перемещение сечения относительно оси, перпендикулярной этому сечению, либо препятствующий такому перемещению.

Другими словами — деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных его оси приложить пару или пары сил. Моменты этих пар сил называют скручивающими или вращающими. Вращающий момент обозначают Т.

Такое определение условно разделяет силовые факторы деформации кручения на внешние (скручивающие, вращающие моменты Т) и внутренние (крутящие моменты Мкр).

В машинах и механизмах кручению наиболее часто подвергаются круглые или трубчатые валы, поэтому расчеты на прочность и жесткость чаще всего производят для таких узлов и деталей.

Относительной деформацией при кручении равна

— продольные линии на валу обратятся в винтовые линии.

Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндрического бруса (вала) справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми (поскольку их диаметры не изменились). А поскольку в сечениях вала отсутствуют продольные силы, то расстояние между ними сохраняется.

Следовательно, деформация кручения круглого вала заключается в повороте поперечных сечений относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения — чем дальше от закрепленного конца вала находится какое-либо сечение, тем на больший угол относительно оси вала оно закручивается. Для каждого сечения вала угол поворота равен углу закручивания части вала, заключенного между этим сечением и заделкой (закрепленным концом). Угол (рис. 1) поворота свободного конца вала (концевого сечения) называется полным углом закручивания цилиндрического бруса (вала). Относительным углом закручивания φ0 называется отношение угла закручивания φ1 к расстоянию l1 от данного сечения до заделки (закрепленного сечения). Если цилиндрический брус (вал) длиной l имеет постоянное сечение и нагружен скручивающим моментом на свободном конце (т. е. состоит из однородного геометрического участка), то справедливо утверждение: φ0 = φ1 / l1 = φ / l = const — величина постоянная.

Если мы рассмотрим тонкий слой на поверхности вышеупомянутого резинового цилиндрического бруса (рис. 1), ограниченный ячейкой сетки cdef, то заметим, что эта ячейка при деформации перекашивается, и ее сторона, удаленная от закрепленного сечения, смещается в сторону закручивания бруса, занимая положение c1d1ef.

Следует отметить, что аналогичная картина наблюдается при деформации сдвига, только в этом случае поверхность деформируется из-за поступательного перемещения сечений друг относительно друга, а не из-за вращательного перемещения, как при деформации кручения. На основании этого можно сделать вывод, что при кручении в поперечных сечениях возникают только касательные внутренние силы (напряжения), образующие крутящий момент.

  • Итак, крутящий момент есть результирующий момент относительно оси бруса внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении.
  • ***
  • Материалы раздела «Деформация кручения»:
  • Изгиб



Главная страница

Дистанционное образование

  • Группа ТО-81
  • Группа М-81
  • Группа ТО-71

Специальности

Учебные дисциплины

Олимпиады и тесты

Кручение (деформация) | это… Что такое Кручение (деформация)?

Пример деформации кручения цилиндрического стержня

Деформация стержня прямоугольного сечения при кручении

Круче́ние — один из видов деформации тела. Возникает в том случае, если нагрузка прикладывается к телу в виде пары сил (момента) в его поперечной плоскости. При этом в поперечных сечениях тела возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент. На кручение работают пружины растяжения-сжатия и валы.

При деформации кручения смещение каждой точки тела перпендикулярно к её расстоянию от оси приложенных сил и пропорционально этому расстоянию.

Угол закручивания цилиндрического стержня в границах упругих деформаций под действием момента T может быть определён из уравнения закона Гука для случая кручения

где:

 — геометрический полярный момент инерции;
 — длина стержня;
G — модуль сдвига.

Отношение угла закручивания φ к длине называют относительным углом закручивания

Деформация кручения является частным случаем деформации сдвига.

Напряжения при кручении

Распределение касательных напряжений при кручении

Вращающийся стержень, работающий на кручение называют валом. Стержень, используемый как упругий элемент, который работает на скручивание, называется торсионом. Касательные напряжения , возникающие в условиях кручения, определяются по формуле:

,

где r — расстояние от оси кручения.

Очевидно, что касательные напряжения достигают наибольшего значения на поверхности вала при и при максимальном крутящем моменте , то есть

,

где Wp — полярный момент сопротивления.

Это даёт возможность записать условие прочности при кручении в таком виде:

.

Используя это условие, можно или по известным силовым факторам, которые создают крутящий момент Т, найти полярный момент сопротивления и далее, в зависимости от той или иной формы, найти размеры сечения, или наоборот — зная размеры сечения, можно вычислить наибольшую величину крутящего момента, которую можно допустить в сечении, которое в свою очередь, позволит найти допустимые величины внешних нагрузок.

Читайте также:  Отвал для мотоблока своими руками чертежи фото

Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения (Лекция №22)

   Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят.

С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и ) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)

   Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент Мz принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.

Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

   Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

  1. поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);

  2. контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;

  3. материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука в форме получаем . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.

Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

   Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения.

Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

   Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5).

При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB1, вызывая поворот волокна на угол сдвига

   Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

(1)

Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений

а) ортогональность и

Рис.6. Распределение касательных напряжений при кручении:

   Здесь — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 6, a)

(2)
  • Подставляя (1) в (2) и учитывая, что
  • где Jp—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d ), получаем
(3)

Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения

а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна

Рис.8. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

   Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

(4)

   Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

   Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (Mz через нее выражается) тем меньше, чем больше DJp, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

  1. Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz
  2. найдем полный угол закручивания стержня длиной l
(5)
  • В случае, если по длине стержня Мz и DJp постоянны, получаем
  • когда эти величины кусочно-постоянны, то:
(6)

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

  1. где — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления
  2. .
  3.    Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид
(7)

где — допускаемое напряжение на кручение.

   Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

  • где , а момент сопротивления определяется по формуле

   Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

   Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния.

На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных.коси стержня под углами ; главное напряжение .

   Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней.

Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a).

Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

РАСЧЕТ ВАЛОВ

   Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

  1.    Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость (с-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна
  2. Отсюда
  3. кНм,
  4. где учтено, что .

   Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max Mz.

   Определение диаметра вала из условия прочности.

Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

  • Требуемое значение Wp=dз/16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства
  • ,
  • откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения
(8)

   Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

(9)

Тогда, учитывая, что , для диаметра вала из условия жесткости имеем

(10)

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.

Дальше…

Ссылка на основную публикацию