Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием. 

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника. 

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

• сама колебательная система
• источник энергии
• устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

Формула периода колебаний T  = t/N T — период [с] t — время [с] N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты ν  = N/t = 1/T ν — частота [Гц] t — время [с] T — период [с] N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо xmax.

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением: 

Уравнение гармонических колебаний x = xmaxcos(2πνt) x — координата в момент времени t [м] xmax — амплитуда [м] ν — частота [Гц] t — момент времени [с] π = 3,14

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний φ = 2πνt φ — фаза [рад] ν — частота [Гц] t — момент времени [с] π = 3,14

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу. 

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

• В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.
• Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника T — период [с] l — длина нити [м] g — ускорение свободного падения [м/с2] На планете Земля g = 9,8 м/с2 π = 3,14

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника T — период [с] m — масса маятника [кг] k — жесткость пружины [Н/м] π = 3,14

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии. 

Рассмотрим его на примере математического маятника.

• Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
• Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Летняя перезагрузка

Бесплатный телеграм-марафон для мам и пап. Узнайте, как провести семейное лето с пользой, и подготовьтесь к нему уже сейчас!

Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин

Время на чтение: 11 минут

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики. 

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости. 

Приняты следующие обозначения:

• m — масса тела;
• k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

1. Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

2. У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

3. Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

4. Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

5. От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

Виды пружинных маятников

Существует два типа данной системы:

1. Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

2. Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

Сила упругости в пружинном маятнике

До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её. 

Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

• Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:
• Fупр = — k*x
• где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),
• x – смещение (м).

Уравнения колебаний пружинного маятника

1. Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

    

2. Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:
3. F(t) = ma(t) = — mw2x(t),
4. где w — радиальная частота гармонического колебания.

5. Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

• Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

Факторы, от которых зависит частота:

1. Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

2. Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

1. Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника. 
2. В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

Энергия пружинного маятника

При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

• Потенциальная энергия:

1. Кинетическая энергия:

• Полная энергия:

Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:

1. Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

2. В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

3. Влияние силы трения при расчете не учитывают.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника 

Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

Пружинный маятник

Колебания пружинного маятника.
В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х.
Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: . Но , тогда: . Или  — ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.
Выразим ускорение:.
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения . Видно, что  или  — циклическая частота при колебаниях пружинного маятника.
Период колебаний  или  (формула Гюйгенса).	Формула Гюйгенса:
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической.
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:. Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то . Производная суммы равна сумме производных:  и . Следовательно:,  а значит .
В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий.

Период колебаний пружинного маятника

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 247.

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 247.

Одной из простейших колебательных систем, удобных для изучения, является пружинный маятник. Рассмотрим его подробнее, получим формулу периода колебаний.

Идеальный пружинный маятник представляет собой некоторую точечную массу $m$, которая закреплена на одном конце пружины с постоянной жесткостью $k$, а другой конец пружины – закреплен к неподвижной опоре. Больше никакие силы на пружинный маятник не действуют, и он способен к совершению свободных незатухающих колебаний.

Рис. 1. Горизонтальный пружинный маятник.

Пусть начало координат находится в точке покоя маятника. Тогда, если маятник выведен из состояния равновесия на расстояние $x$, со стороны пружины на него начинает действовать сила $F=-kx$. Знак «минус» означает, что направление действия этой силы противоположно смещению маятника.

Согласно второму закону Ньютона, если на тело действует сила, то оно приобретает ускорение:

$$a=-{kxover m}$$

Скорость – это производная координаты. А ускорение – производная скорости. Следовательно, ускорение – это вторая производная координаты. Получим уравнение:

$$x”=-{kover m}x$$

То есть, вторая производная координаты пропорциональна самой координате, взятой с противоположным знаком. Это дифференциальное уравнение, и в высшей математике доказывается, что единственная функция, являющаяся его решением – это круговая функця (синус или косинус). Полное же решение данного уравнения выглядит следующим образом:

• $$x(t)=A cos sqrt{kover m}t$$
• Если взять вторую производную этой функции, то можно убедиться, что она равна самой себе, с противоположным знаком и необходимым коэффициентом.
• Сравним полученное уравнение с уравнением гармонических колебаний:
• $$x(t)=A cos( omega t+varphi)$$
• Можно видеть, что фаза $varphi$ в уравнении координаты движения маятника равна нулю, а коэффициент $sqrt {kover m}$ представляет собой круговую частоту. Учитывая формулу, связывающей круговую частоту и период, получим формулу периода колебаний пружинного маятника:
• $$T={2pi over omega}=2pisqrt {mover k}$$

Действительно, чем больше масса пружинного маятника, тем дольше будут совершаться колебания. А чем больше жесткость пружины, тем период колебаний будет меньше. Но величины эти связаны с периодом не прямо, а через коренную зависимость, то есть, для увеличения периода маятника вдвое, надо либо увеличить массу маятника вчетверо, либо во столько же раз уменьшить жесткость пружины.

Рис. 2. Период колебаний пружинного маятника.

В реальности на маятник всегда действует сила тяжести, кроме того, в нем происходят потери, связанные с трением и нагревом пружины. Поэтому, его колебания будут затухающими, а их период будет немного отличаться от расчетного. Наиболее близким к идеальному пружинному маятнику является механизм часового балансира.

Рис. 3. Часовой балансир.

Пружинный маятник – это точечная масса, двигающая под воздействием пружины постоянной жесткости. Период колебаний пружинного маятника пропорционален корню из отношения его массы к жесткости пружины.

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Пока никого нет. Будьте первым!

Средняя оценка: 4.7

Всего получено оценок: 247.

А какая ваша оценка?

Гость завершил

Тест «Детство»с результатом 7/15

Гость завершил

Тест «Гроза»с результатом 16/19

Гость завершил

Тест «На дне»с результатом 12/15

Гость завершил

Тест «Горе от ума»с результатом 14/15

Гость завершил

Тест «Биография Шопена»с результатом 12/12

Не подошло? Напиши в х, чего не хватает!

Период колебания пружинного маятника, теория и онлайн калькуляторы

Рассмотрим простейшую систему, в которой возможна реализация механических колебаний. Допустим, что на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$. Груз движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза.

• Уравнение движения груза при таких колебаниях имеет вид:
• где ${omega }^2_0=frac{k}{m}$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:
• где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ — амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ — начальные фазы колебаний.

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1
ight),] [x=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight)=B{sin left({omega }_0t+{varphi }_1
ight) } }left(2
ight),]

Частота и период колебаний пружинного маятника

Косинус (синус) — периодическая функция, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют
периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

1. Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($
   u $):
2. Период связан с циклической частотой колебаний как:
3. Зная, что для пружинного маятника ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}$, период колебаний его определим как:

[T=frac{1}{
u }left(3
ight).] [T=frac{2pi }{{omega }_0}left(4
ight).] [T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(5
ight).]

Из выражения (5) мы видим, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза, находящегося на пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Такое свойство колебаний называют изохронностью.

Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, при этом возникает зависимость колебаний от амплитуды.

Отметим, что формула (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Единицей измерения периода являются единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:

[left[T
ight]=с.]

Примеры задач на период колебания пружинного маятника

Пример 1

Задание. К упругой пружине прикрепили небольшой груз, при этом пружина растянулась на $Delta x$=0,09 м. Каким будет период колебаний данного пружинного маятника, если его вывести из равновесия?

Решение. Сделаем рисунок.

Рассмотрим состояние равновесия пружинного маятника. Груз прикрепили, после этого пружина растянулась на величину $Delta x$, маятник находится в состоянии равновесия. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Запишем второй закон Ньютона для состояния равновесия груза:

[moverline{g}+{overline{F}}_u=0 left(1.1
ight).]

Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

[mg=F_uleft(1.2
ight).]

Так как груз по условию задачи небольшой, пружина растянулась не сильно, следовательно выполняется закон Гука, величину силы упругости найдем как:

[F_u=kDelta x left(1.3
ight).]

Используя выражения (1.2) и (1.3) найдем отношение $frac{m}{k}$:

[mg=kDelta x o frac{m}{k}=frac{Delta x }{g}left(1.4
ight).]

• Период колебаний пружинного маятника при малых колебаниях можно найти, используя выражение:
• Заменяя отношение массы груза к жесткости пружины на правую часть выражения (1.4), получим:
• Вычислим период колебаний нашего маятника, если $g=9,8 frac{м}{с^2}$:
• Ответ. $T$=0,6 с

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(1.5
ight).] [T=2pi sqrt{frac{Delta x }{g}.}] [T=2pi sqrt{frac{0,09 }{9,8} approx 0,6 (с)}]
   
Пример 2

Задание. Две пружины с жесткостями $k_1$ и $k_2$ соединены последовательно (рис.2), к концу второй пружины присоединен груз массы $m$, Каков период колебаний данного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука.

1. Решение.Период колебаний пружинного маятника равен:
2. Если две пружины соединены последовательно, то их результирующая жесткость ($k$) находится как:
3. Вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:
4. Ответ. $T=2pi sqrt{frac{m(k_1{+k}_2)}{k_1k_2}}$

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(2.1
ight).] [frac{1}{k}=frac{1}{k_1}+frac{1}{k_2} o k=frac{k_1k_2}{k_1{+k}_2}left(2.2
ight).] [T=2pi sqrt{frac{m(k_1{+k}_2)}{k_1k_2}}.]
   

Читать дальше: плечо силы.

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

1.5.2 Период и частота колебаний. Период малых свободных колебаний математического маятника. Период свободных колебаний пружинного маятника

Видеоурок: Маятник — Физика в опытах и экспериментах

• Лекция: Период и частота колебаний
• Маятник — это физическое тело, совершающее колебания под действием сил тяжести или упругости.
• Математический маятник

Рассмотрим два вида маятников: математический и пружинный.

Идеальной системой колебаний является математический маятник. Данная модель состоит из упругой длинной нити с большой жесткостью и небольшого тела на её конце. Если отклонить такой маятник от состояния равновесия всего на 5 градусов или менее, то он будет совершать гармонические колебания.

Гармонические колебания данного тела совершаются благодаря силе натяжения нити и силе тяжести.

Для вывода формул периода математического маятника, следует воспользоваться Вторым законом Ньютона и основными уравнениями механики. В результате этого получим, что период и циклическая частота математического маятника равны:

Отсюда можно сделать вывод, что ни масса тела маятника, ни выбранная амплитуда не влияют на период и частоту колебаний. Они зависят только от длины нити и ускорения свободного падения в данной местности.

Математический маятник используют для регулирования часов в определенной местности в любой точке земного шара, поскольку, мы уже знаем, что ускорение свободного падения на разных частях поверхностей Земли отличается.

Математический маятник также используют для определения местонахождения залежей металлической руды, поскольку в данных местностях ускорение свободного падения увеличивает свое значение.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это тело, прикрепленное к пружине, которое колеблется под действием силы упругости и силы тяжести.

Произведя аналогичные математические выкладки, получим период и циклическую частоту пружинного маятника:Характеристики гармонических колебаний пружинного маятника зависят от массы груза и жесткости пружины.

Предыдущий урок

Следующий урок

Свободные колебания. Пружинный маятник

Определение 1

• Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.
• Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.
• F(t)=ma(t)=-mω2x(t).

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

Fупр=-kx.

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой m, прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2.2.1, составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Определение 3

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

1. Нахождение круговой частоты ω0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:
2. ma=-kx=mω02x.
3. Значит, получаем:
4. ω0=km.

Определение 4

Частоту ω0 называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T=2πω0=2πmk.

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x0=mgk, тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

a(t)=x(t).

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

ma-mx=-kx, или x¨+ω02x=0, где свободная частота ω02=km.

Если физические системы зависят от формулы x¨+ω02x=0, тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x=xmcos (ωt+φ0).

Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Свободные колебания

Определение 6

Уравнение вида x¨+ω02x=0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω0 или период Т.

Амплитуда xm и начальная фаза φ0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆l и моменте времени, равном t=0, производится его опускание без начальной скорости. Тогда xm=∆l, φ0=0. Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ±υ0, отсюда xm=mkυ0, φ0=±π2.

Амплитуда xm с начальной фазой φ0 определяются наличием начальных условий.

Рисунок 2.2.2. Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2.2.2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ, тогда возникает момент силы упругой деформации кручения Mупр:

Mупр=-xθ.

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

• Iε=Mупр=-xθ или Iθ¨=-xθ, где моментом инерции обозначается I=IC, а ε – угловое ускорение.
• Аналогично с формулой пружинного маятника:
• ω0=xI, T=2πIx.

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Рисунок 2.2.3. Крутильный маятник.

Механические колебания

Автор — профессиональный репетитор, автор учебных пособий для подготовки к ЕГЭ Игорь Вячеславович Яковлев

Темы кодификатора ЕГЭ : гармонические колебания; амплитуда, период, частота, фаза колебаний; свободные колебания, вынужденные колебания, резонанс.

Колебания — это повторяющиеся во времени изменения состояния системы. Понятие колебаний охватывает очень широкий круг явлений.

Колебания механических систем, или механические колебания — это механическое движение тела или системы тел, которое обладает повторяемостью во времени и происходит в окрестности положения равновесия. Положением равновесия называется такое состояние системы, в котором она может оставаться сколь угодно долго, не испытывая внешних воздействий.

Например, если маятник отклонить и отпустить, то начнутся колебания. Положение равновесия — это положение маятника при отсутствии отклонения. В этом положении маятник, если его не трогать, может пребывать сколь угодно долго. При колебаниях маятник много раз проходит положение равновесия.

Сразу после того, как отклонённый маятник отпустили, он начал двигаться, прошёл положение равновесия, достиг противоположного крайнего положения, на мгновение остановился в нём, двинулся в обратном направлении, снова прошёл положение равновесия и вернулся назад. Совершилось одно полное колебание. Дальше этот процесс будет периодически повторяться.

Амплитуда колебаний тела — это величина его наибольшего отклонения от положения равновесия.

Период колебаний — это время одного полного колебания. Можно сказать, что за период тело проходит путь в четыре амплитуды.

Частота колебаний — это величина, обратная периоду: . Частота измеряется в герцах (Гц) и показывает, сколько полных колебаний совершается за одну секунду.

Гармонические колебания

Будем считать, что положение колеблющегося тела определяется одной-единственной координатой . Положению равновесия отвечает значение . Основная задача механики в данном случае состоит в нахождении функции , дающей координату тела в любой момент времени.

Для математического описания колебаний естественно использовать периодические функции. Таких функций много, но две из них — синус и косинус — являются самыми важными. У них много хороших свойств, и они тесно связаны с широким кругом физических явлений.

Поскольку функции синус и косинус получаются друг из друга сдвигом аргумента на , можно ограничиться только одной из них. Мы для определённости будем использовать косинус.

• Гармонические колебания — это колебания, при которых координата зависит от времени по гармоническому закону:
• (1)
• Выясним смысл входящих в эту формулу величин.

Положительная величина является наибольшим по модулю значением координаты (так как максимальное значение модуля косинуса равно единице), т. е. наибольшим отклонением от положения равновесия. Поэтому — амплитуда колебаний.

Аргумент косинуса называется фазой колебаний. Величина , равная значению фазы при , называется начальной фазой. Начальная фаза отвечает начальной координате тела: .

Величина называется циклической частотой. Найдём её связь с периодом колебаний и частотой . Одному полному колебанию отвечает приращение фазы, равное радиан: , откуда

1. (2)
2. (3)
3. Измеряется циклическая частота в рад/с (радиан в секунду).
4. В соответствии с выражениями (2) и (3) получаем ещё две формы записи гармонического закона (1):
5. .

График функции (1), выражающей зависимость координаты от времени при гармонических колебаниях, приведён на рис. 1.

Рис. 1. График гармонических колебаний

Гармонический закон вида (1) носит самый общий характер. Он отвечает, например, ситуации, когда с маятником совершили одновременно два начальных действия: отклонили на величину и придали ему некоторую начальную скорость. Имеются два важных частных случая, когда одно из этих действий не совершалось.

Пусть маятник отклонили, но начальной скорости не сообщали (отпустили без начальной скорости). Ясно, что в этом случае , поэтому можно положить . Мы получаем закон косинуса:

.

График гармонических колебаний в этом случае представлен на рис. 2.

Рис. 2. Закон косинуса

Допустим теперь, что маятник не отклоняли, но ударом сообщили ему начальную скорость из положения равновесия. В этом случае , так что можно положить . Получаем закон синуса:

.

График колебаний представлен на рис. 3.

Рис. 3. Закон синуса

Уравнение гармонических колебаний

• Вернёмся к общему гармоническому закону (1). Дифференцируем это равенство:
• . (4)
• Теперь дифференцируем полученное равенство (4):
• . (5)
• Давайте сопоставим выражение (1) для координаты и выражение (5) для проекции ускорения. Мы видим, что проекция ускорения отличается от координаты лишь множителем :
• . (6)
• Это соотношение называется уравнением гармонических колебаний. Его можно переписать и в таком виде:
• . (7)

C математической точки зрения уравнение (7) является дифференциальным уравнением.

Решениями дифференциальных уравнений служат функции (а не числа, как в обычной алгебре).
Так вот, можно доказать, что:

-решением уравнения (7) является всякая функция вида (1) с произвольными ;

-никакая другая функция решением данного уравнения не является.

Иными словами, соотношения (6), (7) описывают гармонические колебания с циклической частотой и только их. Две константы определяются из начальных условий — по начальным значениям координаты и скорости.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это закреплённый на пружине груз, способный совершать колебания в горизонтальном или вертикальном направлении.

Найдём период малых горизонтальных колебаний пружинного маятника (рис. 4). Колебания будут малыми, если величина деформации пружины много меньше её размеров. При малых деформациях мы можем пользоваться законом Гука. Это приведёт к тому, что колебания окажутся гармоническими.

Трением пренебрегаем. Груз имеет массу , жёсткость пружины равна .

Координате отвечает положение равновесия, в котором пружина не деформирована. Следовательно, величина деформации пружины равна модулю координаты груза.

Рис. 4. Пружинный маятник

В горизонтальном направлении на груз действует только сила упругости со стороны пружины. Второй закон Ньютона для груза в проекции на ось имеет вид:

. (8)

Если (груз смещён вправо, как на рисунке), то сила упругости направлена в противоположную сторону, и . Наоборот, если , то . Знаки и всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

1. Тогда соотношение (8) принимает вид:
2. или
3. .
4. Мы получили уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
5. .
6. Циклическая частота колебаний пружинного маятника, таким образом, равна:
7. . (9)
8. Отсюда и из соотношения находим период горизонтальных колебаний пружинного маятника:
9. . (10)

Если подвесить груз на пружине, то получится пружинный маятник, совершающий колебания в вертикальном направлении. Можно показать, что и в этом случае для периода колебаний справедлива формула (10).

Математический маятник

Математический маятник — это небольшое тело, подвешенное на невесомой нерастяжимой нити (рис. 5). Математический маятник может совершать колебания в вертикальной плоскости в поле силы тяжести.

Рис. 5. Математический маятник

Найдём период малых колебаний математического маятника. Длина нити равна . Сопротивлением воздуха пренебрегаем.

• Запишем для маятника второй закон Ньютона:
• ,
• и спроектируем его на ось :
• .

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. ), то:

.

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. ), то:

1. .
2. Итак, при любом положении маятника имеем:
3. . (11)

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство . Воспользуемся им в формуле (11):

• ,
• или
• .
• Это — уравнение гармонических колебаний вида (6), в котором
• .
• Следовательно, циклическая частота колебаний математического маятника равна:
• . (12)
• Отсюда период колебаний математического маятника:
• . (13)

Обратите внимание, что в формулу (13) не входит масса груза. В отличие от пружинного маятника, период колебаний математического маятника не зависит от его массы.

Свободные и вынужденные колебания

Говорят, что система совершает свободные колебания, если она однократно выведена из положения равновесия и в дальнейшем предоставлена сама себе. Никаких периодических внешних
воздействий система при этом не испытывает, и никаких внутренних источников энергии, поддерживающих колебания, в системе нет.

Рассмотренные выше колебания пружинного и математического маятников являются примерами свободных колебаний.

Частота, с которой совершаются свободные колебания, называется собственной частотой колебательной системы. Так, формулы (9) и (12) дают собственные (циклические) частоты колебаний пружинного и математического маятников.

В идеализированной ситуации при отсутствии трения свободные колебания являются незатухающими, т. е. имеют постоянную амплитуду и длятся неограниченно долго. В реальных колебательных системах всегда присутствует трение, поэтому свободные колебания постепенно затухают (рис. 6).

Рис. 6. Затухающие колебания

1. Вынужденные колебания — это колебания, совершаемые системой под воздействием внешней силы , периодически изменяющейся во времени (так называемой вынуждающей силы).
2. Предположим, что собственная частота колебаний системы равна , а вынуждающая сила зависит от времени по гармоническому закону:
3. .

В течение некоторого времени происходит установление вынужденных колебаний: система совершает сложное движение, которое является наложением выужденных и свободных колебаний.

Свободные колебания постепенно затухают, и в установившемся режиме система совершает вынужденные колебания, которые также оказываются гармоническими.

Частота установившихся вынужденных колебаний совпадает с частотой
вынуждающей силы (внешняя сила как бы навязывает системе свою частоту).

Амплитуда установившихся вынужденных колебаний зависит от частоты вынуждающей силы. График этой зависимости показан на рис. 7.

Рис. 7. Резонанс

Мы видим, что вблизи частоты наступает резонанс — явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний.

Резонансная частота приближённо равна собственной частоте колебаний системы: , и это равенство выполняется тем точнее, чем меньше трение в системе.

При отсутствии трения резонансная частота совпадает с собственной частотой колебаний, , а амплитуда колебаний возрастает до бесконечности при .