Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Вынужденные колебания — это колебания, которые происходят под действием внешней периодически меняющейся силы.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием. 

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника. 

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

  • сама колебательная система
  • источник энергии
  • устройство обратной связи, обеспечивающей связь между источником и системой

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение можно описать величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Период — это время одного полного колебания. Измеряется в секундах и обозначается буквой T.

  • Формула периода колебаний
  • T  = t/N
  • T — период [с]
  • t — время [с]
  • N — количество колебаний [—]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

  1. Формула частоты
  2. ν  = N/t = 1/T
  3. ν — частота [Гц]
  4. t — время [с]
  5. T — период [с]
  6. N — количество колебаний [—]

Амплитуда — это максимальное отклонение от положения равновесия. Измеряется в метрах и обозначается либо буквой A, либо xmax.

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением: 

  • Уравнение гармонических колебаний
  • x = xmaxcos(2πνt)
  • x — координата в момент времени t [м]
  • xmax — амплитуда [м]
  • ν — частота [Гц]
  • t — момент времени [с]
  • π = 3,14

(2πνt) в этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

  1. Фаза колебаний
  2. φ = 2πνt
  3. φ — фаза [рад]
  4. ν — частота [Гц]
  5. t — момент времени [с]
  6. π = 3,14

Фаза колебаний — это физическая величина, которая показывает отклонение точки от положения равновесия. Посмотрите на рисунок, на нем изображены одинаковые фазы:
Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу. 

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

  • В первом случае (а) красная кривая описывает колебание, у которого амплитуда больше колебания, описанного синей линией.
  • Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника Период свободных колебаний пружинного маятника равен

  • T — период [с]
  • l — длина нити [м]
  • g — ускорение свободного падения [м/с2]
  • На планете Земля g = 9,8 м/с2
  • π = 3,14

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости. Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

Формула периода колебания пружинного маятника Период свободных колебаний пружинного маятника равен

  1. T — период [с]
  2. m — масса маятника [кг]
  3. k — жесткость пружины [Н/м]
  4. π = 3,14

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии. 

Рассмотрим его на примере математического маятника.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

  • Когда маятник отклоняют на высоту h, его потенциальная энергия максимальна.
  • Когда маятник опускается, потенциальная энергия переходит в кинетическую. Причем в нижней точке, где потенциальная энергия равна нулю, кинетическая энергия максимальна и равна потенциальной энергии в верхней точке. Скорость груза в этой точке максимальна.

Онлайн-курсы физики в Skysmart не менее увлекательны, чем наши статьи!

Летняя перезагрузка

Бесплатный телеграм-марафон для мам и пап. Узнайте, как провести семейное лето с пользой, и подготовьтесь к нему уже сейчас!

Пружинный маятник

Колебания пружинного маятника.
В вертикальном положении на груз на пружине действуют сила тяжести и сила упругости пружины. Под действием силы тяжести пружина растягивается на х1, а затем мы отклоняем его от этого положения на х. Период свободных колебаний пружинного маятника равен
Тогда согласно второму закону Ньютона, учитывая знаки проекций, получим: Период свободных колебаний пружинного маятника равен. Но ,
тогда: Период свободных колебаний пружинного маятника равен.
Или  — ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к изменению положения равновесия.
Выразим ускорение:.
Сравним полученное уравнение с уравнением колебательного движения .
Видно, что  или  — циклическая частота при колебаниях пружинного маятника.
Период колебаний  или  (формула Гюйгенса). Формула Гюйгенса: 
Аналогичные вычисления можно проделать с помощью закона сохранения энергии. Учтем, что потенциальная энергия упруго деформированного тела равна, а полная механическая энергия равна максимальной потенциальной или кинетической.
Запишем закон сохранения энергии и возьмем производную от левой и правой частей уравнения:.
Т.к. производная от постоянной величины равна нулю, то .
Производная суммы равна сумме производных: Период свободных колебаний пружинного маятника равен и Период свободных колебаний пружинного маятника равен.
Следовательно:Период свободных колебаний пружинного маятника равен,  а значит .
В данном случае этот способ более трудоемкий, но он более общий.

Пружинный маятник, формулы и примеры

Период свободных колебаний пружинного маятника равен Онлайн калькуляторы

Читайте также:  Ремонт микроволновки самсунг своими руками подробно видео

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Период свободных колебаний пружинного маятника равен Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Рис.1. Пружинный маятник: а) в положении равновесия; б) в состоянии колебаний

Когда пружина не деформирована, тело находится в положении равновесия (рис.1,а). Если растянув или сжав пружину, вывести тело из положения равновесия, на него будет действовать сила упругости со стороны деформированной пружины. Эта сила направлена к положению равновесия и в данном случае является возвращающей силой.

Сила упругости в пружинном маятнике

  • Сила упругости пропорциональна смещению тела (удлинению пружины):
  • здесь — коэффициент жесткости пружины.

В положении, соответствующем максимальному отклонению тела от положения равновесия (смещение тела равно амплитуде колебаний) сила упругости максимальна, поэтому максимально и ускорение тела.

По мере приближения тела к положению равновесия удлинение пружины уменьшается, и, следовательно, уменьшается ускорение тела, которое обусловлено силой упругости. Достигнув положения равновесия, тело не остановится, хотя в этот момент сила упругости равна нулю.

Скорость тела в момент прохождения им положения равновесия имеет максимальное значение, и тело по инерции будет двигаться дальше, растягивая пружину. Возникающая при этом сила упругости будет тормозить тело, так как теперь она направлена в сторону, противоположную движению тела.

Дойдя до крайнего положения, тело остановится и начнет движение в противоположном направлении. Движение тела будет повторяться в описанной последовательности.

Таким образом, причинами свободных колебаний пружинного маятника является сила упругости деформированной пружины (возвращающая сила) и инертность тела.

Период свободных колебаний пружинного маятника

Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле:

Примеры решения задач

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Период колебания пружинного маятника, теория и онлайн калькуляторы

Рассмотрим простейшую систему, в которой возможна реализация механических колебаний. Допустим, что на упругой пружине, жесткость которой равна $k,$ подвешен груз массой $m$. Груз движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе. Массу пружины считаем малой в сравнении с массой груза.

  • Уравнение движения груза при таких колебаниях имеет вид:
  • где ${omega }^2_0=frac{k}{m}$ — циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:
  • где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ и $B$ — амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ — фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ — начальные фазы колебаний.

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1
ight),] [x=A{cos left({omega }_0t+varphi
ight)=B{sin left({omega }_0t+{varphi }_1
ight) } }left(2
ight),]

Частота и период колебаний пружинного маятника

Косинус (синус) — периодическая функция, смещение $x$ будет принимать одинаковые значения через определенные одинаковые промежутки времени, которые называют
периодом колебаний. Обозначают период буквой T.

  1. Еще одной величиной, характеризующей колебания является величина обратная периоду колебаний, ее называют частотой ($
    u $):
  2. Период связан с циклической частотой колебаний как:
  3. Зная, что для пружинного маятника ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}$, период колебаний его определим как:

[T=frac{1}{
u }left(3
ight).] [T=frac{2pi }{{omega }_0}left(4
ight).] [T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(5
ight).]

Из выражения (5) мы видим, что период колебаний пружинного маятника зависит от массы груза, находящегося на пружине и коэффициента упругости пружины, но не зависит от амплитуды колебаний (A). Такое свойство колебаний называют изохронностью.

Изохронность выполняется до тех пор, пока справедлив закон Гука. При больших растяжениях пружины закон Гука нарушается, при этом возникает зависимость колебаний от амплитуды.

Отметим, что формула (5) для вычисления периода колебаний пружинного маятника справедлива при малых колебаниях.

Единицей измерения периода являются единицы времени, в Международной системе единиц это секунды:

[left[T
ight]=с.]

Примеры задач на период колебания пружинного маятника

Пример 1

Задание. К упругой пружине прикрепили небольшой груз, при этом пружина растянулась на $Delta x$=0,09 м. Каким будет период колебаний данного пружинного маятника, если его вывести из равновесия?

Решение. Сделаем рисунок.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Рассмотрим состояние равновесия пружинного маятника. Груз прикрепили, после этого пружина растянулась на величину $Delta x$, маятник находится в состоянии равновесия. На груз действуют две силы: сила тяжести и сила упругости. Запишем второй закон Ньютона для состояния равновесия груза:

[moverline{g}+{overline{F}}_u=0 left(1.1
ight).]

Запишем проекцию уравнения (1.1) на ось Y:

[mg=F_uleft(1.2
ight).]

Так как груз по условию задачи небольшой, пружина растянулась не сильно, следовательно выполняется закон Гука, величину силы упругости найдем как:

[F_u=kDelta x left(1.3
ight).]

Используя выражения (1.2) и (1.3) найдем отношение $frac{m}{k}$:

[mg=kDelta x o frac{m}{k}=frac{Delta x }{g}left(1.4
ight).]

  • Период колебаний пружинного маятника при малых колебаниях можно найти, используя выражение:
  • Заменяя отношение массы груза к жесткости пружины на правую часть выражения (1.4), получим:
  • Вычислим период колебаний нашего маятника, если $g=9,8 frac{м}{с^2}$:
  • Ответ. $T$=0,6 с

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(1.5
ight).] [T=2pi sqrt{frac{Delta x }{g}.}] [T=2pi sqrt{frac{0,09 }{9,8} approx 0,6 (с)}]
   
Пример 2

Задание. Две пружины с жесткостями $k_1$ и $k_2$ соединены последовательно (рис.2), к концу второй пружины присоединен груз массы $m$, Каков период колебаний данного пружинного маятника, если массами пружин можно пренебречь, сила упругости, действующая на груз, подчиняется закону Гука.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

  1. Решение.Период колебаний пружинного маятника равен:
  2. Если две пружины соединены последовательно, то их результирующая жесткость ($k$) находится как:
  3. Вместо $k$ в формулу для вычисления периода пружинного маятника подставим правую часть выражения (2.2), имеем:
  4. Ответ. $T=2pi sqrt{frac{m(k_1{+k}_2)}{k_1k_2}}$

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}} left(2.1
ight).] [frac{1}{k}=frac{1}{k_1}+frac{1}{k_2} o k=frac{k_1k_2}{k_1{+k}_2}left(2.2
ight).] [T=2pi sqrt{frac{m(k_1{+k}_2)}{k_1k_2}}.]
   

Читать дальше: плечо силы.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

2.2. Свободные колебания. Пружинный маятник



Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы после того, как система была выведена из положения равновесия.

Для того, чтобы свободные колебания совершались по гармоническому закону, необходимо, чтобы сила, стремящаяся возвратить тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из положения равновесия и направлена в сторону, противоположную смещению (см. §2.1):

F (t) = ma (t) = –m ω2 x (t).

В этом соотношении ω – круговая частота гармонических колебаний. Таким свойством обладает упругая сила в пределах применимости закона Гука:

Силы любой другой физической природы, удовлетворяющие этому условию, называются квазиупругими.

Таким образом, груз некоторой массы m, прикрепленный к пружине жесткости k, второй конец которой закреплен неподвижно (рис. 2.2.1), составляют систему, способную в отсутствие трения совершать свободные гармонические колебания. Груз на пружине называют линейным гармоническим осциллятором.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен
Рисунок 2.2.1.Колебания груза на пружине. Трения нет
  • Круговая частота ω0 свободных колебаний груза на пружине находится из второго закона Ньютона:
    Период свободных колебаний пружинного маятника равен

    откуда

  • Частота ω0 называется собственной частотой колебательной системы.
  • Период T гармонических колебаний груза на пружине равен
    Период свободных колебаний пружинного маятника равен

При горизонтальном расположении системы пружина–груз сила тяжести, приложенная к грузу, компенсируется силой реакции опоры. Если же груз подвешен на пружине, то сила тяжести направлена по линии движения груза.

В положении равновесия пружина растянута на величину x0, равную

и колебания совершаются около этого нового положения равновесия. Приведенные выше выражения для собственной частоты ω0 и периода колебаний T справедливы и в этом случае.

Строгое описание поведения колебательной системы может быть дано, если принять во внимание математическую связь между ускорением тела a и координатой x: ускорение является второй производной координаты тела x по времени t:

Поэтому второй закон Ньютона для груза на пружине может быть записан в виде или

(*)

где

Все физические системы (не только механические), описываемые уравнением (*), способны совершать свободные гармонические колебания, так как решением этого уравнения являются гармонические функции вида

Читайте также:  Прессованные опилки: технология изготовления, оборудование

Уравнение (*) называется уравнением свободных колебаний.

Следует обратить внимание на то, что физические свойства колебательной системы определяют только собственную частоту колебаний ω0 или период T.

Такие параметры колебательного процесса, как амплитуда xm и начальная фаза φ0, определяются способом, с помощью которого система была выведена из состояния равновесия в начальный момент времени.

  1. Если, например, груз был смещен из положения равновесия на расстояние Δl и затем в момент времени t = 0 отпущен без начальной скорости, то xm = Δl, φ0 = 0.
  2. Если же грузу, находившемуся в положении равновесия, с помощью резкого толчка была сообщена начальная скорость то ,
  3. Таким образом, амплитуда xm свободных колебаний и его начальная фаза φ0 определяются начальными условиями.
Модель. Колебания груза на пружине

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций. На рис. 2.2.

2 показан угловой аналог линейного гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Горизонтально расположенный диск висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс.

При повороте диска на угол θ возникает момент сил Mупр упругой деформации кручения:

Это соотношение выражает закон Гука для деформации кручения. Величина χ аналогична жесткости пружины k. Второй закон Ньютона для вращательного движения диска записывается в виде (см. §1.23) где I = IC – момент инерции диска относительно оси, проходящий через центр масс, ε – угловое ускорение.

По аналогии с грузом на пружине можно получить:

Крутильный маятник широко используется в механических часах. Его называют балансиром. В балансире момент упругих сил создается с помощью спиралевидной пружинки.

Рисунок 2.2.2.Крутильный маятник

 

Лучшие школы, лагеря, ВУЗы за рубежом
изготовление стикеров
aksiomaprint.ru

1.5.2 Период и частота колебаний. Период малых свободных колебаний математического маятника. Период свободных колебаний пружинного маятника

Видеоурок: Маятник — Физика в опытах и экспериментах

  • Лекция: Период и частота колебаний
  • Маятник — это физическое тело, совершающее колебания под действием сил тяжести или упругости.
  • Математический маятник

Рассмотрим два вида маятников: математический и пружинный.

Идеальной системой колебаний является математический маятник. Данная модель состоит из упругой длинной нити с большой жесткостью и небольшого тела на её конце. Если отклонить такой маятник от состояния равновесия всего на 5 градусов или менее, то он будет совершать гармонические колебания.

Гармонические колебания данного тела совершаются благодаря силе натяжения нити и силе тяжести.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Для вывода формул периода математического маятника, следует воспользоваться Вторым законом Ньютона и основными уравнениями механики. В результате этого получим, что период и циклическая частота математического маятника равны:

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Отсюда можно сделать вывод, что ни масса тела маятника, ни выбранная амплитуда не влияют на период и частоту колебаний. Они зависят только от длины нити и ускорения свободного падения в данной местности.

Математический маятник используют для регулирования часов в определенной местности в любой точке земного шара, поскольку, мы уже знаем, что ускорение свободного падения на разных частях поверхностей Земли отличается.

Математический маятник также используют для определения местонахождения залежей металлической руды, поскольку в данных местностях ускорение свободного падения увеличивает свое значение.

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это тело, прикрепленное к пружине, которое колеблется под действием силы упругости и силы тяжести.

Произведя аналогичные математические выкладки, получим период и циклическую частоту пружинного маятника:Период свободных колебаний пружинного маятника равенХарактеристики гармонических колебаний пружинного маятника зависят от массы груза и жесткости пружины.

Предыдущий урок Следующий урок

Свободные колебания. Пружинный маятник

Определение 1

  • Свободные колебания могут совершаться под действием внутренних сил только после выведения из положения равновесия всей системы.
  • Чтобы колебания совершались согласно гармоническому закону, нужно, чтобы сила, возвращающая тело в положение равновесия, была пропорциональна смещению тела из равновесного положения и направлена в сторону, противоположную смещению.
  • F(t)=ma(t)=-mω2x(t).

Соотношение говорит о том, что ω является частотой гармонического колебания. Данное свойство характерно для упругой силы в пределах применимости закона Гука:

Fупр=-kx.

Определение 2

Силы любой природы, которые удовлетворяют условию, называют квазиупругими.

То есть груз с массой m, прикрепляющийся к пружине жесткости k с неподвижным концом, изображенным на рисунке 2.2.1, составляют систему, способную совершать гармонические свободные колебания при отсутствии силы трения.

Определение 3

Груз, располагаемый на пружине, называют линейным гармоническим осциллятором.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Рисунок 2.2.1. Колебания груза на пружине. Трения нет.

Круговая частота

  1. Нахождение круговой частоты ω0 производится с помощью применения формулы второго закона Ньютона:
  2. ma=-kx=mω02x.
  3. Значит, получаем:
  4. ω0=km.

Определение 4

Частоту ω0 называют собственной частотой колебательной системы.

Определение периода гармонических колебаний груза на пружине Т находится из формулы:

T=2πω0=2πmk.

Горизонтальное расположение системы пружина-груз, сила тяжести компенсируется силой реакции опоры. При подвешивании груза на пружину направление силы тяжести идет по линии движения груза. Положение равновесия растянутой пружины равняется:

x0=mgk, тогда как колебания выполняются около нового равновесного состояния. Формулы собственной частоты ω0 и периода колебаний Т в вышеуказанных выражениях являются справедливыми.

Определение 5

При имеющейся математической связи между ускорением тела а и координатой х поведение колебательной системы характеризуется строгим описанием: ускорение является второй производной координаты тела х по времени t:

a(t)=x(t).

Описание второго закона Ньютона с грузом на пружине запишется как:

ma-mx=-kx, или x¨+ω02x=0, где свободная частота ω02=km.

Если физические системы зависят от формулы x¨+ω02x=0, тогда они в состоянии совершать свободные колебательные гармонические движения с различной амплитудой. Это возможно, так как применяется x=xmcos (ωt+φ0).

Нужна помощь преподавателя? Опиши задание — и наши эксперты тебе помогут!

Свободные колебания

Определение 6

Уравнение вида x¨+ω02x=0 получило название уравнения свободных колебаний. Их физические свойства могут определять только собственную частоту колебаний ω0 или период Т.

Амплитуда xm и начальная фаза φ0 находят при помощи способа, который вывел их из состояния равновесия начального момента времени.

Пример 1

При наличии смещенного груза из положения равновесия на расстояние ∆l и моменте времени, равном t=0, производится его опускание без начальной скорости. Тогда xm=∆l, φ0=0. Если груз находился в положении равновесия, то при толчке передается начальная скорость ±υ0, отсюда xm=mkυ0, φ0=±π2.

Амплитуда xm с начальной фазой φ0 определяются наличием начальных условий.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Рисунок 2.2.2. Модель свободных колебаний груза на пружине.

Механические колебательные системы отличаются наличием сил упругих деформаций в каждой из них. Рисунок 2.2.2 показывает угловой аналог гармонического осциллятора, совершающий крутильные колебания. Диск располагается горизонтально и висит на упругой нити, закрепленной в его центре масс. Если его повернуть на угол θ, тогда возникает момент силы упругой деформации кручения Mупр:

Mупр=-xθ.

Данное выражение не соответствует закону Гука для деформации кручения. Величина x аналогична k жесткости пружины. Запись второго закона Ньютона для вращательного движения диска принимает вид

  • Iε=Mупр=-xθ или Iθ¨=-xθ, где моментом инерции обозначается I=IC, а ε – угловое ускорение.
  • Аналогично с формулой пружинного маятника:
  • ω0=xI, T=2πIx.

Применение крутильного маятника замечено в механических часах. Он получил название балансира, в котором создание момента упругих сил производится при помощи спиралевидной пружины.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Рисунок 2.2.3. Крутильный маятник.

Колебания груза на пружине — урок. Физика, 9 класс

Механическая колебательная система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) (k), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы (m), называется пружинным маятником.

Рис. (1). Колебания пружинного маятника

Рассмотрим простейший пружинный маятник — движущееся по горизонтальной плоскости твёрдое тело (груз), прикреплённое пружиной к стене (рис. (1)). Допустим, что силы трения не оказывают существенного влияния на движение груза.

Первоначально пружина не деформирована (не растянута и не сжата), поэтому никакие силы в горизонтальном направлении на груз не действуют. Точка О — положение равновесия груза.

  • Переместим груз вправо. Пружина при этом растянется, и в ней возникнет сила упругости, направленная влево, к положению равновесия, и по модулю равная:
  • Fупр=kx=kA,
  • где (x=A) — максимальное (амплитудное) отклонение груза от положения равновесия.
Читайте также:  М24 стандартный шаг резьбы

Если отпустить груз, то под действием силы упругости он начнёт ускоренно перемещаться влево, к точке (О), по мере приближения к которой скорость груза будет возрастать от нуля до некоторого максимального значения. При приближении к точке равновесия деформация пружины уменьшается, а значит, уменьшается и сила упругости.

Так как груз имеет скорость при прохождении положения равновесия, то он по инерции продолжает свое движение влево. Теперь пружина начинает сжиматься (деформация сжатия), что приводит к возникновению силы упругости, направленной вправо, т.е. к положению равновесия. По мере возрастания степени деформации пружины сила растет и все больше тормозит движение груза.

В конце концов, груз останавливается.

  1. Но сила упругости, направленная к точке (О), будет продолжать действовать, поэтому груз вновь придёт в движение в обратную сторону, вправо, и на обратном пути его скорость будет возрастать от нуля до максимального значения в точке (О).
  2. Движение груза от точки (О) к крайней правой точке снова приведёт к растяжению пружины, опять возникнет сила упругости, направленная к положению равновесия и замедляющая движение груза до полной его остановки.
  3. Мы описали одно полное колебание.
  4. В каждой точке траектории, кроме положения равновесия, на груз действует сила упругости пружины, которая направлена к положению равновесия.
  • Второй закон Ньютона для такой системы при условии отсутствия внешних сил и сил трения имеет вид:
  • ma=−kx, откуда
  • a=−kmx — ускорение пружинного маятника.

Обрати внимание!

Данная формула справедлива и для вертикального пружинного маятника (рис. (2)) в котором действуют сила тяжести груза и сила упругости пружины.

Рис. (2). Колебания вертикального пружинного маятника

Обрати внимание!

Ускорение тела, колеблющегося на пружине, не зависит от силы тяжести, действующей на это тело. Сила тяжести только приводит к первоначальному изменению (смещению вниз) положения равновесия (рис. (3)).

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Рис. (3). Изображение смещения маятника

  1. Период свободных колебаний пружинного маятника определяется по формуле Гюйгенса:
  2. T=2πmk, где
  3. (m) — масса груза,
  4. (k) — коэффициент жёсткости пружины.

Пружинные маятники широко используются в качестве акселерометра в системах управления баллистических ракет, контактных взрывателях артиллерийских и авиационных боеприпасов и т. п.

Акселерометр (лат. accelero — «ускоряю» и др.-греч. μετρέω — «измеряю») — прибор, измеряющий проекцию кажущегося ускорения (разности между истинным ускорением объекта и гравитационным ускорением).

Как правило, акселерометр представляет собой чувствительную массу, закреплённую в упругом подвесе.

Отклонение массы от её первоначального положения при наличии кажущегося ускорения несёт информацию о величине этого ускорения.

Период свободных колебаний пружинного маятника равен

Рис. (4). Схема акселерометра

На рисунке (4) — схема простейшего акселерометра. Груз закреплён на пружине. Демпфер подавляет колебания груза. Чем больше кажущееся ускорение, тем сильнее деформируется пружина, изменяя показания прибора.

Источники:

Рис. 1. Колебания пружинного маятника. © ЯКласс.Рис. 2. Колебания вертикального пружинного маятника. © ЯКласс.

Рис. 3. Изображение смещения маятника.

Рис. 4. Схема акселерометра.

Пружинный маятник — формулы и уравнения нахождения величин — Помощник для школьников Спринт-Олимпик.ру

Пружинный маятник — колебательная система, которая состоит из тела, подвешенного к пружине. Эта система способна к совершению свободных колебаний.

Подобные системы довольно широко распространены за счет своей функциональной гибкости. Механизмы на основе таких маятников часто используются как элементы средств автоматики. 

В том числе они нашли применение в контактных взрывателях различных боеприпасов, в качестве акселерометров в контурах управления ракет. Так же они активно используются в предохранительных клапанах, устанавливаемых в трубопроводах.

Что такое пружинный маятник

Пружинным маятником в физике называют систему, совершающую колебательные движения под действием силы упругости. 

Приняты следующие обозначения:

  • m — масса тела;
  • k — коэффициент жесткости пружины.

Общий вид маятника:

Особенностями пружинных маятников являются:

  • Сочетание тела и пружины. Массой пружины обычно в расчетах пренебрегают. Роль тела могут играть различные объекты. На них оказывают действие внешние силы. Груз может крепиться разными способами. Витки пружины, которыми она начинается и заканчивается, изготавливают с учетом повышенной нагрузки;

  • У любой пружины есть исходное положение, предел сжатия и растяжения. При максимальном сжатии зазора между витками нет. Когда она максимально растянута, возникает необратимая деформация;

  • Полная механическая энергия появляется с началом процесса обратимого деформирования. В этот момент на объект не оказывает действие сила упругости;

  • Колебательные движения происходят под влиянием силы упругости. Масштаб влияния определяется несколькими причинами (тип сплава, расположение витков и т. д.). Так как может происходить и сжатие и растяжение, можно сделать вывод, что сила упругости действует в двух противоположных направлениях;

  • От массы тела, величины и направления прикладываемой силы зависит скорость в плоскости его перемещения. Например, если подвесить груз к пружине и, растянув её, отпустить, то груз будет перемещаться в двух плоскостях: вертикально и горизонтально.

  • Виды пружинных маятников

    Существует два типа данной системы:

  • Вертикальный маятник — на тело довольно сильно влияет сила тяжести. Это влияние обуславливает увеличение инерционных движений, которые совершает тело в исходной точке.

  • Горизонтальный — в таком варианте при движении на груз начинает действовать сила трения, возникающая по причине того, что груз лежит на поверхности.

  • Сила упругости в пружинном маятнике

    До начала деформирования пружина находится в равновесном состоянии. Прикладываемое усилие может как растягивать, так и сжимать её. 

    Применяя к пружинному маятнику закон сохранения энергии, мы можем рассчитать силу упругости в нем. Упругость прямо пропорциональна расстоянию, на которое сместился груз.

    • Расчёт силы упругости может быть проведен таким образом:
    • Fупр = — k*x
    • где k — коэффициент жесткости пружины (Нм),
    • x – смещение (м).

    Уравнения колебаний пружинного маятника

    1. Свободные колебания пружинного маятника описываются с помощью гармонического закона.

       

    2. Если допустить вероятность того, что колебания идут вдоль оси Х, и при этом выполняется закон Гука, то уравнение примет вид:
    3. F(t) = ma(t) = — mw2x(t),
    4. где w — радиальная частота гармонического колебания.

    5. Для проведения расчета колебаний, учитывая все вероятности, применяют следующие формулы:

    Период и частота свободных колебаний пружинного маятника

    При разработке проектов всегда определяется период колебаний и их частота. Для их измерения используются известные в физике формулы.

    Изменение циклической частоты покажет формула, приведенная на рисунке:

    Факторы, от которых зависит частота:

  • Коэффициент упругости. На этот коэффициент влияет количество витков, их диаметр, расстояние между ними, длина пружины, жесткость используемого сплава и т. д.

  • Масса груза. От этого фактора зависит возникающая инерция и скорость перемещения.

  • Амплитуда и начальная фаза пружинного маятника

    Учитывая начальные условия и рассчитав уравнение колебаний, можем точно описать колебания пружинного маятника. 

    В качестве начальных условий используются: амплитуда (А) и начальная фаза колебаний (ϕ).

    Энергия пружинного маятника

    При рассмотрении колебания тел учитывают, что груз движется прямолинейно. Полная механическая энергия тела в каждой точке траектории является константой и равняется сумме его потенциальной энергии и кинетической энергии.

    Потенциальная энергия:

    Кинетическая энергия:

    • Полная энергия:
    • Расчет имеет особенности. При его проведении нужно учитывать несколько условий:
  • Колебания проходят в двух плоскостях: вертикальной и горизонтальной.

  • В качестве равновесного положения выбирается ноль потенциальной энергии. Находясь в этом положении пружина сохраняет свою форму.

  • Влияние силы трения при расчете не учитывают.

  • Дифференциальное уравнение гармонических колебаний пружинного маятника 

    Отметим, что пружинный маятник — это обобщенное определение. Скорость движения груза (тела) напрямую зависит от комплекса условий, в том числе приложенного к нему усилия.

    ПредыдущаяСледующая

    Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector