Поперечное сечение цилиндра формула

§ 17. Цилиндр

17.1. Определение цилиндра и его элементов

Определение. Тело, которое образуется при вращении прямоугольника вокруг прямой, содержащей его сторону, называется цилиндром (рис. 141).

Круги, образованные вращением сторон прямоугольника, перпендикулярных оси вращения, называются основаниями цилиндра (верхним и нижним). Так как противоположные стороны прямоугольника равны, то основаниями цилиндра являются равные круги.

Поверхность, образованная вращением стороны прямоугольника, параллельной оси вращения, называется боковой поверхностью цилиндра, а её площадь — площадью боковой поверхности цилиндра и обозначается Sбок. Объединение боковой поверхности цилиндра и двух его оснований называется полной поверхностью цилиндра, а её площадь обозначается Sполн. Таким образом,

Sполн = Sбок + 2Sосн.(1)

Высотой цилиндра называется перпендикуляр, проведённый из какой-либо точки одного основания цилиндра к плоскости другого. Длину этого перпендикуляра также называют высотой цилиндра. Отрезок, соединяющий точки окружностей оснований и перпендикулярный к их плоскостям, называется образующей цилиндра вращения. Отрезок оси вращения, заключённый внутри цилиндра, называется осью цилиндра.

 Образующие цилиндра вращения перпендикулярны плоскостям его оснований, а в основании цилиндра — круг, поэтому такой цилиндр называется прямым круговым цилиндром (рис. 142, а).

Если основания прямого кругового цилиндра подвергнуть сжатию так, чтобы окружность основания преобразовалась в эллипс, то получим цилиндр, который называется эллиптическим цилиндром (рис. 142, б).

Так как окружность при параллельном проектировании изображается эллипсом, то изображения кругового и эллиптического цилиндров совпадают.

Цилиндр, образующие которого не перпендикулярны плоскостям его оснований, называется наклонным цилиндром (рис. 142, в). 

Нам предстоит изучать лишь прямой круговой цилиндр, поэтому слова «прямой круговой» опускаем.

Поверхность, образованную вращением прямой, параллельной оси вращения, называют цилиндрической поверхностью вращения (рис. 143).

Уравнение x2 + y2 = r2 (r > 0) задаёт цилиндрическую поверхность вращения с осью вращения Oz и радиусом основания r. Из этого уравнения следует, что цилиндрическая поверхность является поверхностью второго порядка. (Подробнее о поверхностях второго порядка можно прочитать в «Дополнениях» в конце этой книги.)

17.2. Свойства цилиндра

а) Сечения цилиндра плоскостью. Так как цилиндр является телом вращения, то любое его перпендикулярное сечение есть круг, а перпендикулярное сечение боковой поверхности цилиндра — окружность; центры этих окружностей и кругов — точки пересечения секущих плоскостей и оси цилиндра (рис. 144).

Если секущая плоскость пересекает ось цилиндра и не перпендикулярна ей, то в сечении может получиться эллипс (рис. 145) или его некоторая часть (рис. 146, 147).

 Это следует из того, что параллельной проекцией окружности на плоскость, не параллельную плоскости окружности, является эллипс.

(Вспомните: наклонив цилиндрический стеклянный сосуд с водой, вы видите на поверхности воды эллипс или его часть.)

Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось, называется осевым сечением цилиндра.

Так как поворот пространства вокруг прямой на угол 180° является осевой симметрией относительно оси вращения, то ось прямого кругового цилиндра является его осью симметрии.

Значит, осевым сечением цилиндра вращения является прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания и образующей цилиндра (рис. 148). При этом все осевые сечения цилиндра — равные между собой прямоугольники.

Цилиндр, осевое сечение которого — квадрат, называют равносторонним цилиндром (рис. 149).

Так как все образующие цилиндра равны и параллельны друг другу, то любое сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, есть прямоугольник, высота которого равна образующей цилиндра (рис. 150).

б) Изображение цилиндра. Чтобы построить изображение цилиндра, достаточно построить: 1) прямоугольник AВB1A1 и его ось OO1 (рис. 151); 2) два равных эллипса, центрами которых являются точки O и O1 и осями — отрезки АВ и A1В1. Выделив штрихами невидимые линии, получаем искомое изображение цилиндра.

в) Касательная плоскость к цилиндру.

Определение. Плоскость, проходящая через образующую цилиндра перпендикулярно плоскости осевого сечения, проведённой через эту образующую, называется касательной плоскостью к цилиндру (рис. 152).

Говорят, что плоскость α касается цилиндра (цилиндрической поверхности) по образующей DD1, каждая точка образующей DD1 является точкой касания плоскости α и данного цилиндра.

Через любую точку боковой поверхности цилиндра проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности цилиндра можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному цилиндру в этой точке.

17.3. Развёртка и площадь поверхности цилиндра

Следует заметить, что развёртка поверхности вращения — понятие в определённой мере интуитивное. К тому же не для каждой поверхности тела вращения можно построить её развёртку. Иными словами, не каждую поверхность можно «развернуть» на плоскости. Например, не существует развёртки сферы (см. раздел «Дифференциальная геометрия» в конце этой книги).

Развёртку цилиндра мы также введём на интуитивном уровне.

Пусть R — радиус основания, h — высота цилиндра.

Полная поверхность цилиндра состоит из его боковой поверхности и двух оснований — равных кругов. Если эту поверхность «разрезать» по образующей DD1 (рис.

 153) и по окружностям оснований, затем боковую поверхность развернуть на плоскости, то получим развёртку полной поверхности цилиндра (рис.

 154), состоящую из прямоугольника и двух равных кругов, касающихся противоположных сторон этого прямоугольника (рис. 155).

Попробуйте изготовить развёртку цилиндра и склеить из неё цилиндр.

За площадь боковой поверхности цилиндра принимается площадь её развёртки, т. е. площадь боковой поверхности цилиндра равна площади прямоугольника, у которого одна сторона равна длине окружности основания цилиндра, а другая сторона — высоте цилиндра:

Sбок = 2πRh.

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 26. Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту. ▼

Площадь круга радиуса R равна πR2, поэтому Sосн = πR2. Тогда для нахождения площади полной поверхность цилиндра справедливо:

Sполн = Sбок + 2Sосн = 2πRh + 2πR2 = 2πR(R + h).

Следствие.Пусть цилиндр образован вращением прямоугольника ABCD вокруг его высоты AD (рис. 156). Тогда

Sбок = 2πDC•BC. (1)

Если EF — серединный перпендикуляр к образующей BC, проведённый из точки F оси l цилиндра, то EF = CD. Учитывая, что ВС = AD, получаем: Sбок = 2πEF•AD, т. е. боковая поверхность цилиндра равна произведению высоты цилиндра на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра его образующей, проведённого из точки оcu цилиндра.

Это следствие найдёт своё применение в п. 19.7.

17.4. Призмы, вписанные в цилиндр и описанные около цилиндра

Нам предстоит решать задачи, в которых рассматриваются многогранники, вписанные в фигуры вращения и описанные около них.

Для правильного и наглядного изображения конфигураций из таких многогранников и фигур вращения необходимо верно изображать правильные многоугольники, вписанные в окружность (круг) или описанные около неё.

Определение. Призма называется вписанной в цилиндр, если основания призмы вписаны в основания цилиндра (рис. 157).

Цилиндр в этом случае называют описанным около призмы.

Боковые рёбра призмы соединяют соответственные вершины её оснований, вписанных в основания цилиндра. Эти вершины лежат на окружностях оснований цилиндра. Образующие цилиндра соединяют соответственные точки окружностей его оснований и параллельны боковым рёбрам призмы. Следовательно, боковые рёбра вписанной в цилиндр призмы — образующие цилиндра.

Определение.Призма называется описанной около цилиндра, если основания призмы описаны около оснований цилиндра.

Цилиндр при этом называют вписанным в призму (рис. 158).

• Так как соответственные стороны оснований призмы параллельны друг другу и перпендикулярны радиусам оснований цилиндра, проведённым в точки касания, то плоскости боковых граней призмы являются касательными плоскостями к цилиндру: эти плоскости касаются поверхности цилиндра по образующим, соединяющим точки, в которых стороны оснований призмы касаются окружностей оснований цилиндра.
• При изображении правильных призм, вписанных в цилиндр, следует руководствоваться алгоритмами построений изображений правильных многоугольников, вписанных в окружность.
• Итак, для построения изображения правильной призмы, вписанной в цилиндр: 1) строим изображение цилиндра; 2) строим изображение правильного многоугольника, вписанного в верхнее основание цилиндра; 3) через вершины построенного вписанного многоугольника проводим образующие цилиндра; 4) в нижнем основании цилиндра последовательно соединяем концы этих образующих; 5) выделяем видимые и невидимые линии (отрезки) изображаемых фигур.

На рисунке 159 изображены вписанные в цилиндр: призма, в основании которой прямоугольный треугольник (рис. 159, а); правильная четырёхугольная призма (рис. 159, б); правильная треугольная призма (рис. 159, в); правильная шестиугольная призма (рис. 159, г).

 ЗАДАЧА (3.029). Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна a. Найти площади боковой и полной поверхностей правильной призмы, вписанной в этот цилиндр, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Решение. Рассмотрим случай а). Пусть в равносторонний цилиндр вписана правильная призма ABCA1B1C1 (рис. 160); CDD1C1 — осевое сечение; OO1 = h — высота цилиндра; ОС = R — радиус основания цилиндра.

Так как цилиндр — равносторонний, то CDD1C1 — квадрат, значит, высота цилиндра равна диаметру его основания. Тогда в квадрате СDD1С1 находим CD =   = a = h.

Далее, △ АВС — правильный, вписанный в основание, радиус которого R =  = . Значит, сторона АВ и высота СЕ этого треугольника равны: АВ = R = , СЕ =  R =   a. Откуда

1. Sосн =  = ;бок = 3SABB1A1 = 3AB•BB1 = 3••a = .
2. Тогда
3. Sполн = Sбок + 2Sосн = + 2• = .
4. Ответ: a) ; .

 ЗАДАЧА (3.032). В равносторонний цилиндр, высота которого равна a, вписана правильная призма. Найти расстояние и угол между диагональю боковой грани призмы и осью цилиндра, если призма: а) треугольная; б) четырёхугольная; в) шестиугольная.

Решение. Рассмотрим случай б). Пусть ABCDA1B1C1D1 — вписанная в цилиндр правильная призма (рис. 161). Найдём расстояние и угол между осью OO1 цилиндра и скрещивающейся с ней (почему?) диагональю АB1 боковой грани ABB1A1 данной призмы.

Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, проведёнными через эти прямые.

Если точка Е — середина отрезка AD, то расстояние между скрещивающимися прямыми AB1 и OO1 равно расстоянию между плоскостью грани ABB1A1 и параллельной ей (почему?) плоскостью сечения EFF1E1. Это расстояние равно длине отрезка ОK (где точка K — середина АВ), так как OK ⟂ (ABB1) и (ABB1) || (EFF1).

Поскольку данный цилиндр — равносторонний, то BDD1B1 — квадрат со стороной BD = ВВ1 = a. Тогда АВ =  = . Значит, ОK = АЕ =  =  — искомое расстояние между прямыми ОО1 и АВ1.

Обозначим ∠ (OO1; AB1) = ϕ, M = AB1 ∩ A1B. Для нахождения угла ϕ проведём в грани ABB1A1 прямую KK1 || OO1. Тогда ϕ = ∠ (OO1; AB1) = ∠ (KK1; AB1). Так как KK1 || OO1, OO1 ⟂ (ABC), то MK ⟂ AB. Поэтому △ АKМ — прямоугольный. В этом треугольнике АK = , KМ = . Значит, tg ϕ =   = , откуда ϕ = arctg .

Ответ: б) , arctg .

 Во многих пособиях по геометрии за площадь боковой поверхности цилиндра принимают предел последовательности площадей боковых поверхностей правильных вписанных в цилиндр (или описанных около цилиндра) n-угольных призм при n → +∞.

Действительно, Sбок. пов. призм = h•Pосн. призм, где Росн. призм — периметр основания призмы, h — длина её высоты.

Для правильных вписанных в цилиндр призм h — постоянная величина, равная длине высоты цилиндра, а предел последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность (основание цилиндра), равен длине этой окружности. Таким образом, мы вновь получаем: Sбок =  2πRh. 

17.5. Объём цилиндра

Напомним принятое нами соглашение, основанное на принципе Кавальери.

«Пусть даны два тела и плоскость. Если каждая плоскость, параллельная данной плоскости и пересекающая одно из данных тел, пересекает также и другое, причём площади сечений, образованных при пересечении обоих тел, относятся как m : n, то и объёмы этих тел относятся как m : n».

Расположим цилиндр, имеющий высоту h и радиус основания R, и прямоугольный параллелепипед с рёбрами h, R, R так, чтобы их основания находились на двух параллельных плоскостях, расстояние между которыми равно h (рис. 162).

Каждая плоскость, параллельная данным плоскостям и пересекающая цилиндр, пересекает также прямоугольный параллелепипед, причём площади образованных при пересечении обоих тел сечений относятся как π•R2 : R2 = π : 1.

Тогда и для объёмов этих тел справедливо: Vцил : Vпарал = π : 1 или Vцил : (R2•h) = π : 1, откуда

Vцил = π•R2•h.

Если цилиндр высотой h пересечь плоскостью, параллельной его оси, то этот цилиндр разобьётся на два тела (рис. 163). Объёмы этих тел относятся как площади сегментов, образовавшихся в основании цилиндра (докажите это на основании принципа Кавальери). Следовательно, объём каждого из этих тел может быть вычислен по формуле

V = Sсегм•h.

Любая плоскость, проведённая через середину оси цилиндра, разбивает этот цилиндр на два равновеликих тела (рис. 164), объём V каждого из которых равен половине объёма данного цилиндра, т. е. V = π•R2•h.

Попробуйте, исходя из этой формулы, доказать, что в таком случае объём каждой части цилиндра (см. рис. 164) может быть вычислен по формуле:

V= π •R2•(a + b),

где a и b — длины отрезков, на которые образующая цилиндра делится секущей плоскостью.

Сечение цилиндра: определение, виды, его образующая

Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.

Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Осевое сечение

Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как найти площадь сечения

• Формула 1
• (S = d*h,)
• где (d) — диаметр, а (h) — высота всей фигуры.

Источник: reader.lecta.rosuchebnik.ru

1. Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).
2. Формула 2
3. (S = a*h, )
4. где (a) — хорда.

Источник: bezikev.ru

Осевое сечение наклонного цилиндра

Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.

Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:

(S = d * b * sin(α))

Источник: present5.com

Примеры задач

Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.

Задача 1

Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?

• Решение
• Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:
• (Sц = 2pi * r * (r + h))
• Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:
• (Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²)
• Исходя из этого, будем выражать радиус:
• (r = √(Sц / (6*pi)))
• Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:
• (S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi))
• Подставим известные данные ((Sц = 100см^2)) и получим площадь сечения (S = 21,23 см²).
• Ответ: (S = 21,23 см²).

Задача 2

Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения (Sc) равна (10 м²), а площадь основания (Sо— 5 м²). Найти высоту цилиндра.

Решение

Так как площадь основания — круг, то (Sо = pi * r²). Тогда (r = √(Sо/pi) = √(5/pi).)

Так как площадь сечения  — прямоугольник, то (Sc = AB * BC = h * 2r.) Тогда (h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).)

Ответ: (h = √(5pi).)

Площадь поперечного сечения

При решении заданий сопротивления материалов в расчетные формулы вводят величины, которые определяют формулу и размеры поперечных сечений, они называются геометрическими характеристиками плоских сечений. Первой такой величиной стоит считать площадь сечения.

Рассчитать площадь поперечного сечения можно даже ствола дерева, ведь оно по форме похоже на эллипс или круг. Согласно формуле, площадь поперечного сечения круга, возможно, рассчитать достаточно точно по формуле.

Площадь сечения круга или шара можно найти по формуле:

S = πR2

При этом не стоит забывать о том, что расстояние от плоскости до центра фигуры совпадет с плоскостью, тогда плоскость поперечного сечения шара будет равняться нулю, так как касание им плоскости происходит лишь в одной точке.

Рассмотрим на примере параллелограмма. Прежде всего, для того чтобы найти площадь поперечного сечения, необходимо знать значения высоты и снования параллелограмма.

Даже если нам известна только ширина основания и его длина через эти значения возможно найти диагональ, используя теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Формула выглядит как:

• a2 + b2 = c2
• Из нее можно вывести такую формулу:
• c = S*q*r*t*(a2 + b2)
• Когда у нас известно значение диагонали параллелограмма, то его можно подставить в формулу:
• S= c*h

S – площадь поперечного сечения, h это значений высоты параллелограмма. Результат, который получится после исчислений, будет означать площадь поперечного сечения. Такая формула:

1. S=a*b
2. используется в тех случаях, когда сечение идет параллельно двум основаниям.
3. При вычислении площади поперечного сечения цилиндра, которое проходит вдоль его оснований, если одна из сторон данного прямоугольника тождественна радиусу основания, а другая из сторон – высоте цилиндра используется такая формула:
4. S =2R*h

где h – высота цилиндра R – величина радиуса окружности. Если же сечение не проходит сквозь ось цилиндра и одновременно параллельно его основаниям, то это означает, что сторона данного треугольника не равняется диаметру окружности основания.

Для решения этой проблемы необходимо узнать значение неизвестной стороны предварительно нарисовав окружность у основания цилиндра. Расчет производится также по формуле выведенной из теоремы Пифагора. Затем подставляется формула:

S =2а*h

где 2а – значение хорды, расчета площади поперечного сечения.

Вернуться к просмотру справок по дисциплине «Геометрия»

Чему равна площадь поперечного сечения цилиндра?

Площадь поперечного сечения цилиндра равна равняется площади круга, если разрезать параллельно круглому основанию. Площадь поперечного сечения — это площадь двухмерной формы, которая получается, когда трехмерный объект, такой как цилиндр, разрезается перпендикулярно некоторой указанной оси в точке.

Аналогично, какова формула площади поперечного сечения? Площадь поперечного сечения определяется возведя радиус в квадрат, а затем умножив на 3.14. Например, если дерево измеряется как 10u201d DBH, радиус равен 5u201d. Умножение 5 на 5 равно 25, что при умножении на 3.14 равно 78.5. Таким образом, площадь поперечного сечения дерева 10u201d DBH равна 78.5.

Что такое формула площади? Для прямоугольника длиной l и шириной w формула для вычисления площади имеет следующий вид: A = lw (прямоугольник). То есть площадь прямоугольника — это длина, умноженная на ширину. В качестве особого случая, поскольку l = w в случае квадрата, площадь квадрата со стороной s определяется по формуле: A = s2 (площадь).

Как решить поперечные сечения?

Во-вторых, как вы используете формулу площади?

Какой объем у этого цилиндра?

Формула объема цилиндра: V = Bh или V=πr2h . Радиус цилиндра 8 см, высота 15 см. Подставьте 8 вместо r и 15 вместо h в формуле V=πr2h . Упрощать.

тогда какова формула площади и пример? Формула площади

Например, если вы хотите узнать площадь квадратного ящика со стороной 40 см, вы будете использовать формулу: Площадь Квадрата = а2, где а — сторона квадрата. Точно так же площадь треугольника также можно найти, используя его формулу площади (1/2 × b × h).

Как рассчитать объем поперечного сечения? Чтобы вычислить объем цилиндра, мы просто умножить площадь поперечного сечения на высоту цилиндра: V=A⋅h. В случае правильного круглого цилиндра (консервная банка) это становится V=πr2h. Рисунок 1.1. 1: Каждое поперечное сечение конкретного цилиндра идентично другим.

Как найти объем поперечного сечения?

Объем методом поперечного сечения берет площадь всех ломтиков фигуры и складывает их вместе, чтобы найти общий объем. Для двух фигур, если соответствующие срезы имеют одинаковую площадь, то сумма будет одинаковой, а фигуры будут иметь одинаковый объем.

Что такое сечение в математике? Поперечное сечение – это плоское сечение, сечение трехмерного объекта, параллельное одной из его плоскостей симметрии или перпендикулярное одной из его линий симметрии. Опишите фигуры, образованные поперечными сечениями (квадрат, прямоугольник, треугольник и т. д.).

Что такое пример области?

Что такое Площадь?

Название формы: Формула площади:

Треугольник	Площадь = bh, где b — основание, а h — высота.
Квадратный	Площадь = l × l, где l — длина каждой стороны.
Прямоугольные	Площадь = l × w, где l — длина, а w — ширина.
Параллелограмм	Площадь = b × h, где b — основание, а h — высота по перпендикуляру.

Каково решение площади? Площадь измеряется в квадратных единицах, таких как квадратные дюймы, квадратные футы или квадратные метры. Чтобы найти площадь прямоугольника, умножьте длину на ширину. Формула: А = Д * Ш где A — площадь, L — длина, W — ширина, а * означает умножение.

Как рассчитывается площадь земельного участка?

для краткости) определите длину и ширину области, с которой вы работаете, в футах. Умножьте длину на ширину, и вы получите квадратные футы. Вот основная формула, которой вы можете следовать: Длина (в футах) x ширина (в футах) = площадь в кв.

Какая площадь цилиндра?

Объем цилиндра π r² ч, а его площадь поверхности равна 2π rh + 2π r².

Как найти площадь цилиндра? Формула для расчета общей площади поверхности цилиндра дается как общая площадь поверхности цилиндра = 2πr (h + r), в то время как площадь криволинейной поверхности цилиндра формула, площадь криволинейной / боковой поверхности цилиндра = 2πrh, где 'r' — радиус основания, а 'h' — высота цилиндра.

Почему формула объема цилиндра? Таким образом, объем цилиндра можно задать произведением площади основания на высоту. Для любого цилиндра с радиусом основания «r» и высотой «h» объем будет равен основанию, умноженному на высоту. Следовательно, объем цилиндра = р2h кубических единиц.

Как вычислить площадь круга?

• Формула площади круга: A = pi * r * r, где r — радиус (диаметр / 2).
• Как найти площадь по математике в 4 классе?
• Площадь поперечного сечения равна объему?

Для произвольного твердого тела мы можем приблизить его объем, разрезав его на n тонких ломтиков.

Когда срезы тонкие, каждый срез можно хорошо аппроксимировать общим прямым цилиндром. Таким образом объем каждого среза приблизительно равен площади его поперечного сечения × толщине.

Какая формула объема? В то время как основная формула для площади прямоугольной формы — длина × ширина, основная формула для объема — длина × ширина × высота.

Что такое чертеж в разрезе?

Поперечные срезы, или разрезы, как их обычно называют, представляют собой архитектурные чертежи, представляющие собой ортогональные проекции строений с пересекающим их разрезом. Этот тип проекции показывает трехмерный рисунок в двухмерном виде.

Какие фигуры имеют поперечное сечение цилиндра? Сечение цилиндра равно круг.

Что такое умножение площади?

Умножение на 1-значное число с использованием площадных моделей

Покажите задачу в виде площади прямоугольника, а затем разбейте этот прямоугольник на более мелкие части для облегчения решения. Этот метод также известен как умножение на ящик.

Как найти площадь с тремя числами?

Похожие страницы:

✅ Поперечное сечение цилиндра формула — tractor-agro.ru

При решении заданий сопротивления материалов в расчетные формулы вводят величины, которые определяют формулу и размеры поперечных сечений, они называются геометрическими характеристиками плоских сечений. Первой такой величиной стоит считать площадь сечения.

Рассчитать площадь поперечного сечения можно даже ствола дерева, ведь оно по форме похоже на эллипс или круг. Согласно формуле, площадь поперечного сечения круга, возможно, рассчитать достаточно точно по формуле.

Площадь сечения круга или шара можно найти по формуле:S = πR 2

При этом не стоит забывать о том, что расстояние от плоскости до центра фигуры совпадет с плоскостью, тогда плоскость поперечного сечения шара будет равняться нулю, так как касание им плоскости происходит лишь в одной точке.

Рассмотрим на примере параллелограмма. Прежде всего, для того чтобы найти площадь поперечного сечения, необходимо знать значения высоты и снования параллелограмма.

Даже если нам известна только ширина основания и его длина через эти значения возможно найти диагональ, используя теорему Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равняется сумме квадратов катетов. Формула выглядит как:

a 2 + b 2 = c 2

Из нее можно вывести такую формулу:

  Чем отличается нержавеющая сталь от полированной стали

c = S*q*r*t*(a 2 + b 2 )

Когда у нас известно значение диагонали параллелограмма, то его можно подставить в формулу:

S – площадь поперечного сечения, h это значений высоты параллелограмма. Результат, который получится после исчислений, будет означать площадь поперечного сечения. Такая формула:

используется в тех случаях, когда сечение идет параллельно двум основаниям.

При вычислении площади поперечного сечения цилиндра, которое проходит вдоль его оснований, если одна из сторон данного прямоугольника тождественна радиусу основания, а другая из сторон – высоте цилиндра используется такая формула:

где h – высота цилиндра R – величина радиуса окружности. Если же сечение не проходит сквозь ось цилиндра и одновременно параллельно его основаниям, то это означает, что сторона данного треугольника не равняется диаметру окружности основания.

Для решения этой проблемы необходимо узнать значение неизвестной стороны предварительно нарисовав окружность у основания цилиндра. Расчет производится также по формуле выведенной из теоремы Пифагора. Затем подставляется формула:

где 2а – значение хорды, расчета площади поперечного сечения.

Сечения цилиндра

Определение 2. Сечением цилиндра называют пересечение цилиндра с плоскостью. Если сечение проходит через ось цилиндра, то такое сечение называют осевым сечением цилиндра (рис. 3).

Рис.3

На рисунке 3 изображено одно из осевых сечений цилиндра – прямоугольник AA1B1B .

Замечание 4. Каждое осевое сечение цилиндра с радиусом r и высотой h является прямоугольником со сторонами 2r и h .

Определение 3. Перпендикулярным сечением цилиндра называют сечение, перпендикулярное оси цилиндра (рис. 4).

Рис.4

Замечание 5. Любым перпендикулярным сечением цилиндра будет круг радиуса r .

Замечание 6. Более подробно случаи взаимного расположения цилиндра и плоскости рассматриваются в разделе нашего справочника «Взаимное расположение цилиндра и плоскости в пространстве».

Геометрические тела. Цилиндр

Цилиндр − это геометрическое тело, которое ограничено цилиндрической поверхностью и 2-мя плоскостями, которые параллельны и пересекают ее.

ABCDEFG и abcdefg — это основания цилиндра. Расстояние между основаниями (KM) – высота цилиндра.

Цилиндрические сечения боковой поверхности кругового цилиндра.

Сечения, которые идут параллельно к основанию, будут являться кругами одного радиуса. Сечения, которые параллельны образующим цилиндра — это пары параллельных прямых (AB || CD). Сечения, не параллельные ни основанию, ни образующим, являются эллипсами.

Цилиндрическая поверхность образуется посредством движения прямой параллельно самой себе. Точка прямой, которая выделена, перемещается вдоль заданной плоской кривой – направляющей. Эта прямая называется образующей цилиндрической поверхности.

Прямой цилиндр – это такой цилиндр, в котором образующие перпендикулярны основанию. Если образующие цилиндра не перпендикулярны основанию, то это будет наклонный цилиндр.

• Круговой цилиндр – цилиндр, основанием которого является круг.
• Круглый цилиндр – такой цилиндр, который одновременно и прямой, и круговой.
• Прямой круговой цилиндр определяется радиусом основания R и образующей L, которая равна высоте цилиндра H.
• Призма – это частный случай цилиндра.

Объем правильного цилиндра через радиус и высоту цилиндра

1. r — радиус основания цилиндраh — высота цилиндра
2. … вычисление …
3. … вычисление …

  Виды металлообработки (механообработки)

• … вычисление …
• … вычисление …
• Упрощение формулы:

Полная площадь поверхности круглого цилиндра

Полная площадь поверхности круглого цилиндра равна сумме площадей боковой поверхности круглого цилиндра и удвоенной площади основания. Основание круглого цилиндра есть круг и его площадь вычисляется по формуле площади круга:

В инженерной и строительной практике нередко встречаются задачи по расчёту площади поперечного сечения. Если фигуру разрезать по линии, которая перпендикулярна продольной оси предмета, то полученный торец и будет поперечным сечением. Круг — один из наиболее часто встречающихся видов подобного рассечения. Такой срез присущ цилиндру, шару, конусу, тору, эллипсоиду.

Формулы и калькулятор для вычисления объема цилиндра через диаметр основания

1. d — диаметр основания цилиндра
2. h — высота цилиндра
3. … вычисление …
4. … вычисление …
5. … вычисление …
6. … вычисление …

Определение величины

Площадь — это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Её определение — одна из древнейших практических задач. Древние греки умели находить площадь многоугольников: так, каменщикам, чтобы узнать размер стены, приходилось умножать её длину на высоту.

По прошествии долгих лет трудом многих мыслителей был выработан математический аппарат для расчета этой величины практически для любой фигуры.

На Руси существовали особые единицы измерения: копна, соха, короб, верёвка, десятина, четь и другие, так или иначе связанные с пахотой. Две последних получили наибольшее распространение. Однако от древнерусских землемеров нам досталось только само слово — «площадь».

С развитием науки и техники появилось не только множество формул для расчёта площадей любых геометрических фигур, но и приборы, которые делают это за человека. Такие приборы называют планиметрами.

Область применения

Круг — одна из фундаментальных фигур, которые окружают человека повсюду. Трубы, колеса, лампы, конфорки у плиты — всё это имеет форму круга или поперечное сечение в виде круга. Расчёт площади такого сечения может понадобиться в следующих ситуациях:

1. Определение объемов емкостей.
2. Решение задач по сопротивлению материалов и электротехнике.
3. Расчет количества материалов при проектировании, строительстве и ремонте.
4. Ведение поливного земледелия.

Стоит обратить внимание на разницу между кругом и окружностью. Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от центра, в то время как круг — это часть плоскости (геометрическая фигура), ограниченная окружностью.

Круг имеет ряд характеристик:

• радиус (r/R) — отрезок, соединяющий центр фигуры с его границей;
• диаметр (d/D) — отрезок, который соединяет две точки границы круга и проходит через его центр;
• длина окружности (C/c/L/l).

Теорема гласит: площадь круга (S) равна произведению половины длины окружности и его радиуса. Длина окружности С находится в прямой зависимости от радиуса R с коэффициентом π («пи» = 3,14).

Объем цилиндрической полости

Объем полости в виде цилиндра равен объему цилиндра, который извлечен из данной полости для ее образования. То есть для вычисления цилиндрической полости можно воспользоваться формулами и калькулятором для расчета простого правильного цилиндра в зависимости от известных исходных данных.

На картинке продемонстрирована цилиндрическая полость, образованная в теле путем извлечения из него цилиндра. Объем извлеченного цилиндра и объем образованной полости равны.

Нужно отметить один важный момент.

Несмотря на равенство объемов извлеченного цилиндра и образованной полости, площади поверхностей данных объектов будут отличаться, так как у образованной цилиндрической полости отсутствует верхняя поверхность. То есть суммарная площадь поверхности образованной цилиндрической полости будет меньше суммарной площади извлеченного цилиндра на одну площадь основания цилиндра.

• Теория
• Цилиндр может быть
• .
• Правильный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра равен 90 градусов.
• Неправильный или наклонный цилиндр – это цилиндр, где угол между образующими боковой поверхности и основанием цилиндра отличается от 90 градусов.
• Рассмотрим правильный цилиндр.
• Цилиндр – это тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Тело цилиндра ограничено двумя кругами, называемыми основанием цилиндра и боковой цилиндрической поверхностью, которая в развертке представляет собой прямоугольник

Цилиндр можно так же описать как тело, состоящее из двух равных кругов, не лежащих в одной плоскости и параллельных между собой, и отрезков, соединяющих все точки одной окружности, с соответствующими точками другой окружности. Данные отрезки называются образующими цилиндра.

1. Радиус основания цилиндра, является радиусом цилиндра.
2. Ось цилиндра – это прямая, соединяющая центра оснований цилиндра.
3. Высота цилиндра – это перпендикуляр, опущенный от одного основания цилиндра к другому.

Способы расчета

Чтобы получить круглое поперечное сечение, необходимо разрезать объёмную фигуру перпендикулярно оси вращения. В случае с цилиндром площади всех поперечных сечений будут равны между собой — как, например, кружки колбасы, нарезанные поперек батона, одинаковы.

Шар, по сути, представляет собой напластование блинчиков-кругов различного диаметра от точечного до заданного и обратно до точки. Чтобы найти S какого-либо из блинчиков, необходимо определить его радиус. Принцип его расчёта сводится к решению теоремы Пифагора, где гипотенузой выступает радиус шара, а искомый радиус становится одним из катетов.

Определение величины

Площадь — это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Её определение — одна из древнейших практических задач. Древние греки умели находить площадь многоугольников: так, каменщикам, чтобы узнать размер стены, приходилось умножать её длину на высоту.

По прошествии долгих лет трудом многих мыслителей был выработан математический аппарат для расчета этой величины практически для любой фигуры.

На Руси существовали особые единицы измерения: копна, соха, короб, верёвка, десятина, четь и другие, так или иначе связанные с пахотой. Две последних получили наибольшее распространение. Однако от древнерусских землемеров нам досталось только само слово — «площадь».

Определение цилиндра

Далее мы подробно остановимся на прямом круговом цилиндре как самой популярной разновидности фигуры. Другие ее виды будут перечислены в последнем разделе данной публикации.

Прямой круговой цилиндр – это геометрическая фигура в пространстве, полученная путем вращения прямоугольника вокруг своей стороны или оси симметрии. Поэтому такой цилиндр иногда называют цилиндром вращения.

Цилиндр на рисунке выше получен в результате вращения прямоугольного треугольника ABCD вокруг оси O1O2 на 180° или прямоугольников ABO2O1/O1O2CD вокруг стороны O1O2 на 360°.

Область применения

Круг — одна из фундаментальных фигур, которые окружают человека повсюду. Трубы, колеса, лампы, конфорки у плиты — всё это имеет форму круга или поперечное сечение в виде круга. Расчёт площади такого сечения может понадобиться в следующих ситуациях:

1. Определение объемов емкостей.
2. Решение задач по сопротивлению материалов и электротехнике.
3. Расчет количества материалов при проектировании, строительстве и ремонте.
4. Ведение поливного земледелия.

Стоит обратить внимание на разницу между кругом и окружностью. Окружность — это замкнутая кривая, все точки которой равно удалены от центра, в то время как круг — это часть плоскости (геометрическая фигура), ограниченная окружностью.

Круг имеет ряд характеристик:

• радиус (r/R) — отрезок, соединяющий центр фигуры с его границей;
• диаметр (d/D) — отрезок, который соединяет две точки границы круга и проходит через его центр;
• длина окружности (C/c/L/l).

Теорема гласит: площадь круга (S) равна произведению половины длины окружности и его радиуса. Длина окружности С находится в прямой зависимости от радиуса R с коэффициентом π («пи» = 3,14).

Поверхности цилиндра

Наружную поверхность цилиндра можно условно разделить на три отдельные поверхности: верхняя, нижняя и боковая.

Верхняя и нижняя поверхности цилиндра имеют форму круга и равны между собой.

Боковая поверхность цилиндра имеет форму прямоугольника. Чтобы это наглядно представить, возьмем боковую наружную поверхность цилиндра и мысленно сделаем вертикальный разрез по образующей цилиндра. Далее развернем поверхность на плоскость. В результате увидим, что боковая поверхность имеет форму прямоугольника (см. на картинке).

Способы расчета

Чтобы получить круглое поперечное сечение, необходимо разрезать объёмную фигуру перпендикулярно оси вращения. В случае с цилиндром площади всех поперечных сечений будут равны между собой — как, например, кружки колбасы, нарезанные поперек батона, одинаковы.

Шар, по сути, представляет собой напластование блинчиков-кругов различного диаметра от точечного до заданного и обратно до точки. Чтобы найти S какого-либо из блинчиков, необходимо определить его радиус. Принцип его расчёта сводится к решению теоремы Пифагора, где гипотенузой выступает радиус шара, а искомый радиус становится одним из катетов.

При расчёте площади сечений конуса необходимо найти радиус или диаметр каждого из кругов, учитывая, что в продольном разрезе конус — это равнобедренный треугольник.

Цилиндр, конус и шар — базовые объемные фигуры. Однако существуют более сложные фигуры, например, тор. Тор, или тороид, при первом приближении являет собой не что иное, как бублик или баранку. Разломив его пополам, на торцах можно увидеть два одинаковых круга.

Площадь такого поперечного сечения можно получить, удвоив имеющуюся (на рисунке серая область справа). Если взять нож и рассечь баранку вдоль, на срезе получится кольцо.

В случае с такой фигурой необходимо найти площадь круга по внешней окружности и вычесть из нее «дырку от бублика» (показано серым на рисунке слева).

Площадь круглого поперечного сечения рассчитывается исходя из имеющихся характеристик. Она сводится к трем основным формулам. Их можно представить таким образом:

  Правая резьба в какую сторону закручивать?

1. Самая популярная, легкая в применении и часто используемая формула. Чтобы узнать площадь фигуры, если известен её радиус, нужно возвести это значение в квадрат и умножить на число π. Для бытовых расчетов достаточно двух знаков после запятой, то есть π = 3,14.

2. Иногда оперируют диаметром, а не радиусом круга. В этом случае к вычислениям добавляется одна операция: диаметр умножают сам на себя, затем на число π, а произведение делят на 4.
3. Если известна длина окружности С и ее радиус R и нужно выяснить площадь круга, ограниченного этой окружностью, не понадобится даже π.

   Используют следующую формулу: значение С делят пополам и умножают на R. Полученное чисто и будет искомой величиной.

Способов определения того, чему равна площадь круга, достаточно много. Чаще всего, если возникает подобная задача, на ум приходит знакомая еще со школьной скамьи формула «эс равно пи эр квадрат».