Расчет прогиба балки на двух опорах

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Расчет прогиба балки на двух опорах

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым охватим всю теоретическую часть по максимуму.

Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Расчет прогиба балки на двух опорах

Выбор базы и системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки.

Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Расчет прогиба балки на двух опорах

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях — упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом использования метода начальных параметров (МНП).

Универсальное уравнение МНП

После введения базы, системы координат и обозначения расстояний а, б, в, г записываем универсальное уравнение МНП, с помощью которого, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки):

Расчет прогиба балки на двух опорах

Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем, так сказать:

  • E – модуль упругости;
  • I – момент инерции;
  • VK – прогиб сечения K;
  • VO – прогиб сечения O;
  • θO – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу слева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае VK, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:

Расчет прогиба балки на двух опорах

В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIVO:

Расчет прогиба балки на двух опорах

Также всегда учитывается угол поворота сечения, которое совпадает с выбранной базой. Причем произведение EIθO всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Расчет прогиба балки на двух опорах

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку, которая находится слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Расчет прогиба балки на двух опорах

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

Расчет прогиба балки на двух опорах

В случае с моментами скобка возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен по часовой стрелке и отрицательным, соответственно, если против часовой стрелки:

Расчет прогиба балки на двух опорах

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки. Но так как, конец распределенной нагрузки совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, в этом случае, в уравнении учитывается только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была сила или момент, их бы также не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобка возводится в 4 степень и делится на 24. А правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил.

Граничные условия

Чтобы решить уравнение, нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: VK, VO и θO. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы.

Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и никаких поворотов, то есть VO = 0 и θO = 0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями.

Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно-подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров.

Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок, помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.

Читайте также:  Редуктор для бетономешалки своими руками

Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок.

Условие задачи

Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·105 МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см4). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае рассматриваемый метод будет работать.

В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно направленной нагрузкой. Тем самым в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

  • Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:
  • VA = 0 при x = 6м
  • θA = 0 при x = 6м
  • Напомню, что нас, в этом примере интересует прогиб сечения O (VO). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб VO и угол поворота этого сечения — θO:

Но чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:

Из второго уравнения найдем угол поворота:

После чего рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.

Если возникнут какие-то вопросы по методу начальных параметров, напиши их в х, разберемся. Также другие уроки ты можешь найти здесь.

Расчет балки на прогиб — построение эпюр, формулы, параметры

Расчет балки на прогиб нужно проводить практически для любой конструкции, чтобы проверить ее надежность и прочность.

Под влиянием внешних, внутренних факторов, природных явлений балка подвержена деформации.

Балку сравнивают со стержнем, закрепленным на опорах. Чем больше опор, тем сложнее провести расчет самостоятельно.

Основная нагрузка считается путем сложения сил, перпендикулярно направленных к сечению.

Данный расчет – основы сопромата, помогает определить наивысшую деформацию. Значения показателей должны входить в рамки допустимых величин.

Виды балок

При возведении зданий используется балки разных конфигураций, размеров, профиля, характера сечения. Их изготавливают из металла и дерева. Для любого вида используемого материала нужен индивидуальный расчёт изгиба.

  Как выбрать алмазные бруски для заточки ножей

Виды балок:

  1. Деревянные

    — их используют в основном при строительстве индивидуальных построек. Они применяются при возведении полов, потолков, несущих перекрытий. Дерево – капризный материал и подвержено деформации. Для определения максимального изгиба, существенны такие параметры: используемый профиль, размер, нагрузка, характер поперечного сечения.

  2. Металлические

    — такие балки изготавливают из сплава металлов и сечение у них сложное. Поэтому особое внимание уделяется жесткости, а также прочности соединений. Балки из металла применяются в возведении многоэтажек, сооружений, требующих высокой прочности.

Расчет балки на прочность

Для того чтобы определить подходит балка по прочности или нет, нужно чтобы момент сопротивления балки перекрытия (W), равнялся или был больше требуемого момента (Wтреб ):

Wтреб ≤ W

Но вычислить реальный момент сопротивления балки перекрытия мы не можем, так как не известна ее высота. В этом случае нужно или воспользоваться перебором сечений, исходя из условия, что наиболее оптимальное соотношение высоты к ширине 1,4:1, или же просто принять W = Wтреб, в силу того, что мы не нарушаем условий заданной формулы. Также, после этих манипуляций станет известен параметр h.

Онлайн калькулятор KALK.PRO расчета балки на прочность оперативно вычислит нужное сечение, чтобы перекрытие выдержало расчетную нагрузку БЫСТРО и БЕСПЛАТНО.

Прочность и жесткость балки

При проектировании следует учесть изгиб балок, чтобы конструкция была надежная, качественная, прочная и практичная.

Читайте также:  Самодельный вибратор для бетона из перфоратора видео

На эти параметры влияют следующие факторы:

  • величина наружных нагрузок, их положение;
  • параметры, характер, нахождение поперечного сечения;
  • продольные величины;
  • материал;
  • число опор, метод их закрепления.

Выделяют 2 метода исчисления: простой – применяется увеличительный коэффициент, и точный – дополнительно включает пограничные подсчеты.

Пример расчета деревянной балки перекрытия

Расчет выполняется в соответствии со СНиП II-25-80 ( СП 64.13330.2011) «Деревянные конструкции» [1] и применением таблиц [2].

Исходные данные

  • Требуется рассчитать балку междуэтажного перекрытия над первым этажом в частном доме.
  • Материал — дуб 2 сорта.
  • Срок службы конструкций — от 50 до 100 лет.

  Как сделать плуг своими руками с чертежами

  1. Состав балки — цельная порода (не клееная).

  2. Шаг балок — 800 мм;
  3. Длина пролета — 5 м (5 000 мм);
  4. Пропитка антипиренами под давлением — не предусмотрена.
  5. Расчетная нагрузка на перекрытие — 400 кг/м2; на балку — qр = 400·0,8 = 320 кг/м.

  6. Нормативная нагрузка на перекрытие — 400/1,1 = 364 кг/м2; на балку — qн = 364·0,8 = 292 кг/м.

Расчет

1) Подбор расчетной схемы.

Так как балка опирается на две стены, т.е. она шарнирно оперта и нагружена равномерно-распределенной нагрузкой, то расчетная схема будет выглядеть следующим образом:

  • 2) Расчет по прочности.
  • Определяем максимальный изгибающий момент для данной расчетной схемы:
  • Мmax = qp·L 2 /8 = 320·5 2 /8 = 1000 кг·м = 100000 кг·см,
  • где: qp — расчетная нагрузка на балку;
  • L — длина пролета.
  • Определяем требуемый момент сопротивления деревянной балки:
  • где: R = Rи·mп·mд·mв·mт·γсc = 130·1,3·0,8·1·1·0,9 = 121,68 кг/см 2 — расчетное сопротивление древесины, подбираемое в зависимости от расчетных значений для сосны, ели и лиственницы при влажности 12% согласно СНиП [1] — таблицы 1 [2] и поправочных коэффициентов:
  • mп = 1,3 — коэффициент перехода для других пород древесины, в данном случае принятый для дуба (таблица 7 [2]).

mд = 0,8 — поправочный коэффициент принимаемый в соответствии с п.5.2. [1], вводится в случае, когда постоянные и временный длительные нагрузки превышают 80% суммарного напряжения от всех нагрузок.

  1. mв = 1 — коэффициент условий работы (таблица 2 [2]).
  2. mт = 1 — температурный коэффициент, принят 1 при условии, что температура помещения не превышает +35 °С.
  3. γсс = 0,9 — коэффициент срока службы древесины, подбирается в зависимости от того, сколько времени вы собираетесь эксплуатировать конструкции (таблица 8 [2]).

γн/о = 1,05 — коэффициент класса ответственности. Принимается по таблице 6 [2] с учетом, что класс ответственности здания I.

В случае глубокой пропитки древесины антипиренами к этим коэффициентам добавился бы еще один: ma = 0.9.

С остальными менее важными коэффициентами вы можете ознакомится в п.5.2 СП 64.13330.2011.

  • Примечание: перечисленные таблицы вы можете найти здесь.
  • Определение минимально допустимого сечения балки:
  • Так как чаще всего деревянные балки перекрытия имеют ширину 5 см, то мы будем находить минимально допустимую высоту балки по следующей формуле:
  • h = √(6Wтреб/b) = √(6·862,92/5) = 32,2 см.

Формула подобрана из условия Wбалки = b·h 2 /6. Получившийся результат нас не удовлетворяет, так как перекрытие толщиной более 32 см никуда не годится. Поэтому увеличиваем ширину балки до 10 см.

  1. h = √(6Wтреб/b) = √(6·862,92/10) = 22,8 см.
  2. Принятое сечение балки: bxh = 10×25 см.
  3. 3) Расчет по прогибу.
  4. Здесь мы находим прогиб балки и сравниваем его с максимально допустимым.
  5. Определяем прогиб принятой балки по формуле соответствующей принятой расчетной схеме:
  6. f = (5·qн·L 4 )/(384·E·J) = (5·2,92·500 4 )/(384·100000·13020,83) = 1,83 см
  7. где: qн = 2,92 кг/cм — нормативная нагрузка на балку;
  8. L = 5 м- длина пролета;

Е = 100000 кг/см2 — модуль упругости. Принимается равным в соответствии с п.5.3 СП 64.13330.2011 вдоль волокон 100000 кг/см2 и 4000 кг/см 2 поперек волокон не взирая на породы при расчете по второй группе предельных состояний.

Но справедливости ради нужно отметить, что модуль упругости в зависимости от влажности, наличия пропиток и длительности нагрузок только у сосны может колебаться от 60000 до 110000 кг/см2.

Поэтому, если вы хотите перестраховаться, то можете взять минимальный модуль упругости.

  • J = b·h 3 /12 = 10·25 3 /12 = 13020,83 см 4 — момент инерции для доски прямоугольного сечения.
  • Определяем максимальный прогиб балки:
  • fmax = L·1/250 = 500/250 = 2,0 см.

  Как выбрать токарный станок по металлу в гараж

Предельный прогиб определяется по таблице 9 [2], как для междуэтажных перекрытий.

Расчет на жесткость

Алгоритм исчисления:

В формуле обозначены:

  • M – max момент, возникающий в брусе;
  • Wn,min – момент сопротивления сечения (табличный показатель);
  • Ry – сопротивление на изгиб (расчётный показатель);
  • γc – показатель условий труда (табличный показатель).

Такой расчет не трудоемок, но для более верного значения требуется следующее:

  • рабочий план объекта;
  • определение характеристик балки, характер сечения;
  • определение max нагрузки, воздействующей на брус;
  • оценка точки max прогиба;
  • проверка прочности max изгибающего момента.
Читайте также:  Что такое штуцер в сантехнике

Упрощенный расчет (по готовым формулам)

Расчет производится по формулам расчетной схемы 2.1 для шарнирной балки.

1.1 Определение опорных реакций:

А = B = ql/2 = 3.2·4.6/2 = 7.36 кН (671.1)

Соответственно максимальная поперечная сила, действующая в поперечных сечениях балки будет «Q» = 7.36 кН. Действовать эта поперечная сила будет на опорах балки

1.2. Определение максимального изгибающего момента:

Максимальный изгибающий момент будет действовать посредине пролета балки и он составит:

М = ql2/8 = 3.2·4.62/8 = 8,464 кНм (671.2)

1.3. Подбор сечения балки:

3.1 Для деревянной балки с расчетным сопротивлением R = 13 МПа (13000 кПа) требуемый момент сопротивления составит:

Расчет балок на прогиб. Максимальный прогиб балки: формула

Процесс проектирования современных строений и построек регулируется огромным количеством различных строительных норм и правил. В большинстве случаев нормы требуют обеспечения определенных характеристик, например, деформации или прогиба балок плит перекрытия под статической или динамической нагрузкой.

Например, СНиП № 2.09.03-85 определяет для опор и эстакад прогиб балки не более чем в 1/150 длины пролета. Для чердачных перекрытий этот показатель составляет уже 1/200, а для межэтажных балок и того меньше – 1/250. Поэтому одним из обязательных этапов проектирования является выполнение расчета балки на прогиб.

Деревянные балки

Сегодняшнее индивидуальное строительство подразумевает под собой широкое применение балок, изготовленных из дерева. Практически каждое строение содержит в себе деревянные перекрытия. Балки из дерева могут использоваться как несущие элементы, их применяют при изготовлении полов, а также в качестве опор для перекрытий между этажами.

Ни для кого не секрет, что деревянная, так же как и стальная балка, имеет свойство прогибаться под воздействием нагрузочных сил. Стрелка прогиба зависит от того, какой материал используется, геометрических характеристик конструкции, в которой используется балка, и характера нагрузок.

Допустимый прогиб балки формируется из двух факторов:

  • Соответствие прогиба и допустимых значений.
  • Возможность эксплуатации здания с учетом прогиба.

Проводимые при строительстве расчеты на прочность и жесткость позволяют максимально эффективно оценить то, какие нагрузки сможет выдерживать здание в ходе эксплуатации.

Также эти расчеты позволяют узнать, какой именно будет деформация элементов конструкции в каждом конкретном случае.

Пожалуй, никто не будет спорить с тем, что подробные и максимально точные расчеты – это часть обязанностей инженеров-строителей, однако с использованием нескольких формул и навыка математических вычислений можно рассчитать все необходимые величины самостоятельно.

Для того чтобы произвести правильный расчет прогиба балки, нужно также брать во внимание тот факт, что в строительстве понятия жесткости и прочности являются неразрывными. Опираясь на данные расчета прочности, можно приступать к дальнейшим расчетам относительно жесткости. Стоит отметить, что расчет прогиба балки – один из незаменимых элементов расчета жесткости.

Обратите ваше внимание на то, что для проведения таких вычислений самостоятельно лучше всего использовать укрупненные расчеты, прибегая при этом к достаточно простым схемам. При этом также рекомендуется делать небольшой запас в большую сторону. Особенно если расчет касается несущих элементов.

Виды балок

Независимо от того, какой должна быть конструкция, материал для изготовления балок выбирают прочный и надежный. Отличаются они друг от друга лишь по своим параметрам:

Чаще всего, для изготовления балок используется дерево и металл. Расчет балки на изгиб напрямую зависит от выбранного материала. В данном случае большое значение имеют такие показатели как однородность и структура.

Балки из дерева

Конструкции из дерева используются в одноэтажных домах или небольших домиках. Они отлично подходят как для потолка, так и пола. Для расчета прогиба балки берут следующие величины:

  1. Тип материала. Каждое дерево отличается прочностью, твердостью и гибкостью.
  2. Геометрические показатели, в которые включается как форма изделия, так и его сечение.
  3. Предполагаемые нагрузки, которые будут давить на материал.

На то, как будет изгибаться балка учитывается не только реальное давление, но и все возможные силы воздействия.

Стальные балки

Эти изделия очень сложные не только по сечению, но и по составу. Так как из выливают из нескольких видов металла. Производя расчет нагрузки на балку, необходимо принимать во внимание насколько она жесткая, а так же прочно ли она соединена.

Балки из стали используют для строительства многоэтажных домов Источник i0.photo.2gis.com

Конструкция из металла между собой соединяется с помощью:

  • сваривания;
  • склепывания;
  • с помощью соединителей, имеющих резьбу.

Прочные металлические балки используются для строительства домов в несколько этажей. В таких конструкциях вся нагрузка равномерно распределяется по всей балке.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector