Треугольник рело в круге

• Исследовательская работа по математике
• На тему
• Введение
• «Математик сделает лучше»
• Г. Штейнгаус

Иногда
в основе любой ширины и толщины нужно сделать отверстие с идеальным квадратным
сечением.

А вы когда-нибудь задумывались над тем, как сверлят квадратные
отверстия? Советов, как добиться максимальной точности при минимальных
затратах, множество. И самыми распространенными являются следующие
рекомендации:

·        
если основа не очень толстая, советуют
воспользоваться штамповкой или специальными прессами и просто «прорубить»
отверстие нужного сечения и размера.

·        
В детали со значительной толщиной, точнее
в их формы перед литьем сразу закладывают необходимую область требуемого
квадратного проема иными материалами. После литья их вынимают и получается
квадратное отверстие.

·        
Просто использовать лазерную резку.

·        
Специальные дисковые резки.

Я
задумалась над  вопросом, а как бы с этой задачей справился математик и смог бы
он сделать лучше. Ответ оказался положительным. Оказывается,существует еще один
способ для вырезания квадратных отверстий, в реализации которого  косвенно
поучаствовал математик.

Итак, квадратные отверстия можно сделать  при помощи
специального сверла, в сечение которого заложена форма треугольника Рёло.Меня
заинтересовал не сам инструмент, а этот треугольник и его форма.

Именно поэтому
я решила посвятить работу изучению его свойств и рассмотрению области
применения.

1. Работая
   над этим проектом, я поставила перед собой задачи:
2. —
   узнать как можно больше о треугольнике Рёло;
3. —
   изучить его свойства;
4. -рассмотреть
   математическую модель этого сверла;
5. —
   выяснить области, кроме сверления, в которых применяется треугольник Рёло.
6. Глава 1. Треугольник Рёло и его свойства

Треугольник
Рёло– это область пересечения трёх равных
кругов с центрами в вершинах правильного треугольника и радиусами, равными
его стороне. Негладкая замкнутая кривая, ограничивающая эту фигуру, также называется
треугольником Рёло (рис. 1).

    
Треугольник Рёло-плоская фигура постоянной ширины,  и если его  вращать между
двух параллельных прямых, расположенных на фиксированном расстоянии друг от
друга, то он будет  постоянно касаться их обеих.

  
Если добавить пару параллельных прямых, касающихся треугольника Рёло и
образующих с уже имеющимся углом прямой угол, то получится квадрат. Если
вращать треугольник Рёло специальным образом, то он постоянно  будет находиться
внутри квадрата и  в любой момент времени касаться всех его сторон. Но квадрат
этот будет иметь немного скругленные углы (рис. 2).

Рис.
1.                                                               Рис. 2.

      
Теперь рассмотрим свойства треугольника Рёло:

1.     
Треугольник Рёло, как было уже сказано
выше, является кривой постоянной ширины.

2.     
Если сторона треугольника равна a,
то его площадь равна

а
периметр равен P=πa.

Среди
всех фигур постоянной ширины   у треугольника Рёло
наименьшая площадь. Чтобы найти площадь треугольника Рёло, нужно сложить
площадь внутреннего равностороннего треугольника и площадь трёх оставшихся
одинаковых круговых сегментов, опирающихся на угол в 60 градусов.

• 
• 
• 

3.     
Замечательные точки треугольника. Центры
вписанной, описанной окружностей, ортоцентр и центр тяжести совпадают. Сумма
радиусов вписанной и описанной окружностей равна ширине треугольника Рёло
(рис.3).

1.                                                      
2. 
3.                                                                  
   Рис. 3

4.     
Треугольник Рёло обладает осевой и
центральной симметрией.

Однако,
из всех фигур постоянной ширины треугольник Рёло обладает центральной
симметрией в наименьшей степени. Существует несколько различных способов
дать определение степени симметричности фигуры. Один из них — это мера
Ковнера — Безиковича. В общем случае для выпуклой фигуры   она равна:

 где 
µ
— площадь фигуры,   — содержащаяся в
 центрально-симметричная
выпуклая фигура максимальной площади. Для треугольника Рёло такой фигурой
является шестиугольник с искривлёнными сторонами, представляющий
собой пересечение этого треугольника Рёло со своим образом при центральной
симметрии относительно своего центра. Мера Ковнера — Безиковича для
треугольника Рёло равна:

• 
•      
  Другой способ — это мера Эстерманна:
• где  —
  содержащая    центрально-симметричная
  фигура минимальной площади. Для треугольника Рёло —
  это правильный шестиугольник, поэтому мера Эстерманна равна:

5.     
Качение по квадрату.

Если
треугольник Рёло вписать в квадрат, то он может вращаться в нем, постоянно
касаясь всех четырех сторон.

 Каждая вершина треугольника  при его
вращении проходит почти весь периметр квадрата, отклоняясь от этой траектории
лишь в углах – там вершина описывает дугу эллипса.

Центр этого эллипса
расположен в противоположном углу квадрата (рис. 4), а его большая и малая оси
повернуты на угол в 45о относительно сторон квадрата и равны

1. Все
   четыре эллипса касаются смежных сторон квадрата на расстоянии

от
угла (рис. 5).

Рис.
4                                      Рис. 5

• Глава 2. Области применения треугольника
  Рёло
• Треугольник
  Рёло назван в честь немецкого ученого-инженера Франца Рёло, которого считают
  первооткрывателем свойств этой геометрической фигуры, так как он первый широко
  использовал свойства и возможности треугольника в своих механизмах.
•      
  Иные исследователи первооткрывателем этой фигуры называют Леонарда Эйлера(18
  век), который уже тогда продемонстрировал возможность его создания из трех
  окружностей.

     
А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях Леонардо да Винчи. Созданная им
карта мира имеет вид четырех сферических треугольников (рис.6).

1. Рис.6
2.      
   Но кто бы ни был первооткрывателем этого треугольника, он получил широкое
   распространение в современном мире.А именно:

·        
Сверло Уаттса. В 1914 году английский
инженер Гарри Джеймс Уаттс изобрел инструмент для сверления квадратных
отверстий. Сверло Уаттса представляет собой просто-напросто треугольник Рёло, в
котором прорезаны углубления для отвода стружки и заточены режущие кромки (рис.
7).

                                                                            
Рис. 7

·        
Двигатель Ванкеля. В 1957 году немецкий
изобретатель Ф. Ванкель создал уникальный механизм, где внутри камеры
цилиндрической формы по сложной траектории передвигается ротор-поршень,
созданный в форме треугольника Рёло. При его постоянном движении каждая его
грань, контактируя со стенками камеры, образует сразу три камеры, названные
позже «камерами сгорания» (рис. 8).

Рис. 8

·        
Грейферный механизм кинопроекторов. В 
данном  случае  треугольник  Рёло  находится 
внутри  квадрата  и  двигает  рамку, 
посредством  вращения  вокруг  одного  из  своих 
углов.  Зуб,  который  находиться  на  рамке, 
входит  в  перфорацию  киноплёнки,  протаскивает 
её  на  один  кадр  вниз  и  выходит 
обратно (рис. 9).

• Рис.
  9
• ·        
  Основа кулачкового механизма для
  зигзагообразного шва в швейных машинках, а также в паровых  двигателях и
  часовых механизмах.
• ·        
  Музыкальные инструменты.

 У такого музыкального
инструмента, как баян, есть минус, при  нажатии  на 
клавиши  близко  стоящие  во  2  и  3 
ряду  они  цепляют  друг  за  друга  из-за 
небольшого  смешения,  что  недопустимо при игре. 
Если  же  клавиши  сделать  в  форме 
треугольника  Рёло,  и  расположить  их,  как 
показано  на  рисунке,  то  такой  проблемы 
можно  избежать (рис. 10). 

1. Рис.
   10
2. ·        
   Каток.

Для
перемещения тяжелых предметов на небольшие расстояния их кладут на плоскую
платформу, установленную на  катках. По мере продвижения платформы
освободившиеся задние катки заносят вперед и укладывают перед ней.

Для того,
чтобы движение по каткам было прямолинейным, их сечение должно представлять
собой фигуру постоянной ширины. Чаще всего сечением был круг, однако сечение в
виде треугольника Рёло будет ничуть не хуже и позволит передвигать предметы
столь же прямолинейно.

  Но несмотря на это, такая форма не подходит для
изготовления колес, поскольку треугольник Рёло не имеет фиксированной оси
вращения.

·        
Люки канализации.

Фигура
постоянной ширины не может проходить через отверстие такой же
фигуры с меньшей шириной. Поэтому треугольник Рёло можно
использовать в качестве люков.

 Тут можно поспорить с тем, что
и круглый люк не проваливается, так как
круг тоже фигура постоянной величины, но нам уже
известно, что у треугольника Рёло меньше площадь,
чем у круга, а значит и материала расходуется
меньше на крышку люка (рис. 11). 

Рис. 11

·   
Дробильные машины. Создание  и 
использование  машины  для  дробления  камней  в 
шахтах.

Для  этого  необходимо  изготовить  два 
вала,  которые  при  фронтальном  срезе  будут  в
форме  треугольника  Рёло,  причем  вершины  треугольника 
имеют  зубья,  глубина которых  равна  разнице 
расстояния  от  центра  до  вершины,  и 
расстоянию  от  центра  до  самой  удаленной 
точки  на  стороне.                  

Которые 
надо  расположить  таким  образом,  что  их 
оси  будут  находиться  на  расстоянии,  равном 
двум  расстояниям  от  самой  удаленной  точки 
стороны  треугольника  (назовем  её  х)  до 
его  центра,  плюс  15  %  от  этого 
расстояния,  и  начать  их  вращать. При 
вращение  мы  будем  наблюдать  две  фазы.

  Первая, 
когда  точки  х  обоих  валов  будут  на 
не  большом  (15  %)  расстоянии  друг  от 
друга,  и  вторая,  когда  зубчатые  вершины 
треугольника  Рёло  будут  входить  друг  в 
друга  с  небольшим  зазором. В  первой  фазе 
камни  будут  попадать  в  зазор,  а  во 
второй  дробиться.

  Причем,  если  по  той 
же  технологии  расположить  круглые  валы,  то 
вероятность  того,  что  конструкция  заклинит 
выше,  потому  что  при  вращение  круглых 
валов,  всего  одна  фаза,  при  которой 
камни  и  попадают  в  дробильный  механизм, 
и  дробятся  одновременно.

  В  случае  с 
машиной,  в  которой  применен  треугольник 
Рёло,  фазы  две,  и  даже,  если  при 
дроблении  камень  застрял,  то  в  следующей 
фазе  механизм  образует  зазор,  и  машина  не  застопорится (рис. 12). 
К  тому  же, 

 современная 
дробилка  устроена  таким  образом,  что  в 
ней  присутствует  возвратно-поступательный  механизм. 
На  примере  сравнения  двигателя  Ванкеля  и 
поршневого  двигателя.

• Первая фаза                                Вторая
  фаза
• Рис.
  12
• ·        
  В архитектуре.

Форма треугольника Рёло
используется в архитектурных целях. Конструкция из двух его дуг образует
характерную для готического стиля стрельчатую арку. Окна в форме треугольника
Рёло можно обнаружить в церкви Богоматери в Брюгге   (рис. 13), а также в
шотландской церкви в Аделаиде.

Как элемент орнамента он встречается на оконных
решетках цистерцианского аббатства в швейцарской коммуне Отрив. Также его
используют и в архитектуре, не принадлежащей к готическому стилю.

Например,
построенная в 2006 году в Кёльне 103-метровая башня под названием «Кёльнский
треугольник», в сечении представляет собой именно треугольник Рёло (рис. 14).

 Рис. 13 Рис. 14

Глава
3 Обобщения и аналоги треугольника Рёло

Лежащую
в основе треугольника Рёло идею построения можно обобщить, если использовать
для создания кривой постоянной ширины не равносторонний треугольник, а
звездчатый многоугольник, образованный отрезками прямых равной длины.

Если из
каждой вершины звездчатого многоугольника провести дугу окружности, которая
соединит две смежные ей вершины, то полученная замкнутая кривая постоянной
ширины будет состоять из конечного числа дуг одного и того же радиуса.

Такие
кривые, а также ограничиваемые ими фигуры, называются многоугольниками Рёло.

      
 Среди многоугольников Рёло выделяют класс кривых, построенных на основе
правильных звездчатых многоугольников. Этот класс носит название правильных
многоугольников Рёло (рис.15).

Все дуги, из которых составлен подобный
многоугольник, имеют не только одинаковый радиус, но и одинаковую длину.

Форма
таких многоугольников используется в монетном деле: монеты ряда стран(например,
20 и 50 пенсов Великобритании) выполнены в виде правильного семиугольника Рёло.

Рис.
15                                                            Рис. 16

      
Трехмерным аналогом треугольника Рёло является тетраэдр Рёло – пересечение
четырех одинаковых шаров, центры которых расположены в вершинах правильного
тетраэдра, а радиусы равны стороне этого тетраэдра (рис. 16). Однако тетраэдр
Рёло не является телом постоянной ширины: расстояние между серединами
противоположных граничных криволинейных ребер, соединяющих его вершины,  в

1. раз
   больше, чем ребро исходного правильного тетраэдра.
2. Заключение

        
Таким образом, изобретенный в прошлом веке треугольник Рёло широко используется
сегодня. Однако его изучение не стоит на месте.

Его свойства как характеристики
фигуры постоянной ширины находятся в постоянном теоретическом и практическом
изучении.

И это правильно, ведь чем лучше будут изучены свойства треугольника
Рёло и остальных фигур постоянной ширины, тем больше возможностей будет
открываться для их использования в нашей жизни. 

•         
  Итак, в ходе выполнения этой работы мы изучили свойства треугольника Рёло,
  затронули историю открытия, рассмотрели области применения.
• Однако
  данный  проект является лишь каплей в море в изучении данной темы, ведь столько
  интересного осталось за его рамками.
• Список использованной
  литературы

1.      Интернет-ресурс
http://aurahome.ru

2.      Интернет-ресурс
http://funnymath.ru

3.      Бронштейн,
И. Н., Семендяев, К. А., Справочник по математике для инженеров и учащихся
вузов. – М.: Просвещение, 1962

4.      Дорофеев,
Г. В., Шарыгин, И. Ф., Суворова, С. Б. Математика. – М.: Просвещение, 1987.

5.      Кушнир.
И. А., Треугольник в задачах. – Киев, Лебедь, 1994.

Трегольник Рёло

Колесо — это предмет, как правило, круглой формы, служащий для передачи или регулирования движения.

Кривые постоянной ширины

Использование колес для перемещения грузов по плоским поверхностям возможно благодаря тому, что все радиусы окружности имеют одинаковую длину. Так как окружность — это геометрическое место точек, равноудаленных от центра.

Поэтому если ось вращения колеса проходит через его центр, то она не поднимается и не опускается, а только перемещается вперед или назад, при этом высота над поверхностью остается неизменной. Существует и другой способ перемещения грузов, в котором вместо колес используются валы.

Все мы не раз видели на картинках, как огромный каменный блок стоит на нескольких валах и его толкают или тянут веревками

Это возможно благодаря еще одному свойству окружностей, которое не имеет ничего общего с тем, о чем мы только что говорили. Колеса могут иметь только круглую форму, в то время как форма валов может быть различной.

Свойство, благодаря которому действуют валы, связано не с расположением центра окружности, а с шириной круга, которая постоянна в любом направлении. Рассмотрим в качестве примера эллипс. Ширина эллипса вдоль большой оси очевидно больше, чем вдоль малой оси. Нетрудно представить, что произойдет, если мы подложим под камень валы в форме эллипса.

Камень при движении будет перемещаться вверх-вниз, пока не упадет на землю. Любопытно, но окружность не единственная кривая постоянной ширины. Существует бесконечное множество подобных прямых, которые подчас имеют весьма причудливую форму

Как построить треугольник Рёло

Пусть дан равносторонний треугольник с вершинами А, В и С. Возьмем циркуль и проведем дугу окружности с центром в точке А через вершины В и С. Затем проведем дугу окружности с центром в точке В. Дуга пройдет через вершины С и А. После этого выполним аналогичные действия для вершины С.

Полученная фигура называется треугольником РЁЛО и является кривой постоянной ширины. Если использовать вал подобной формы, он ничем не будет отличаться от круглого вала. При вращении треугольник Рёло всегда соприкасается с поверхностью земли и блока, поскольку он всегда вращается вокруг одной из вершин, а расстояние от неё до дуги окружности является постоянной величиной

Вершинами треугольника Рёло могут быть скругленными, и при этом он по-прежнему будет обладать постоянной шириной. Чтобы построить такой треугольник, достаточно продлить его стороны на произвольное расстояние, затем, зафиксировав центр окружности в одной из вершин, соединить концы продленных сторон дугами, как показано на рисунке:

Все вышесказанное можно обобщить и для трех измерений, то есть можно построить геометрические тела постоянной ширины, подобные сфере. Простейшее из них можно получить вращением треугольника Рёло вокруг одной из его осей симметрии.

Еще одно подобное тело можно получить, проведя аналогичные построения, но в пространстве: за основу берется пирамида, а не треугольник, и поверх ее граней строятся части сферы.

Полученное тело будет вращаться в пространстве аналогично треугольнику на плоскости

Треуольник Рело: применение

Классические кинопроекторы всегда издают характерный стрекочущий звук. Он возникает из-за использования треугольников Рёло в механизме проектора.

При показе фильма на экране на очень короткий промежуток времени (1/24 секунды) показывается кадр, после чего кинопленку необходимо провернуть, чтобы показать на экране следующий кадр. В этот момент затвор должен быть закрыт, чтобы на экране не было расплывчатого изображения.

Получается, что движение ленты должно чередоваться с остановками. Это достигается путем равномерного вращения треугольника Рёло вокруг одной из его вершин. Треугольник Рёло находится внутри прямоугольной рамки, которая поднимается и опускается.

Рамка остается неподвижной половину периода вращения треугольника, после чего перемещается в новое положение, где остается неподвижной такое же время. Затем весь цикл повторяется

Другое важное применение кривых постоянной ширины основано на возможности построения выпуклой кривой, внутри которой треугольник Рёло может перемещаться так чтобы все его вершины постоянно соприкасались с этой кривой.

Благодаря этому свойству немецкий инженер Феликс Ванкель в 1924 году спроектировал роторный двигатель, в котором поршни были заменены ротором в форме треугольника Рёло. Ротор вращается внутри кривой необходимых размеров, точно подобранных для корректной работы четырехтактного двигателя внутреннего сгорания.

Первый прототип под названием DKM был изготовлен в 1957 году, о результат оставлял желать лучшего из-за сильной вибрации на малой скорости, большого расхода масла и невысокого момента.

Сейчас применяется уже третье поколение подобных двигателей (Rx-7), их объём доведен до 1 308 кубических сантиметров, мощность атмосферного двигателя при 8 200 оборотах в минуту составляет 227 лошадиных сил. Классический поршневой двигатель той же мощности будет иметь шесть цилиндров и объём более трех литров

Как сверлить квадратные отверстия?

Можно ли просверлить квадратное отверстие? Здравый смысл подсказывает, что нет, но на самом деле это возможно. В этом нам помогут кривые постоянной ширины. Представим себе окружность, вписанную в квадрат. При вращении она всегда касается всех его сторон, причем точки касания всегда располагаются на серединах сторон.

При вращении треугольник Рёло нужных размеров также может постоянно касаться всех сторон квадрата, но в разных точках, так как его ширина постоянна. Каждая вершина треугольника опишет квадрат со скругленными углами. В начале ХХ века это свойство натолкнуло британского инженера Гарри Джеймса Уоттса на мысль о возможности сверления квадратных отверстий.

Добавим, что этот же принцип позволяет сверлить отверстия форме любых многоугольников с четным числом сторон. В сверлильном станке Уоттса центр вращения треугольника Рёло не фиксирован. Описываемая замкнутая кривая выглядит как идеальный квадрат, но в действительности представляет собой более сложную кривую, образованную четырьмя дугами эллипса.

Скругленные углы квадратного отверстия также являются дугами эллипса.

Интересный факт о кривых постоянной ширины

Кривые постоянной ширины обладают некоторыми примечательными свойствами. Рассмотрим, например, простой треугольник Рёло и вычислим его периметр. Он состоит из трёх равных круговых секторов с углом 60° и радиусом d, равным длине стороны треугольника. Так как 60° – это одна шестая от 360, длине дуги L для каждого сектора равна шестой части длины всей окружности C.

Иными словами:L = 1/6 х C = 1/6 x 2пd = 1/3пd.Общий периметр Р получается сложением длин дуг трех круговых секторов. Имеем:Р=3 х (1/3 па) = пd

Это в точности совпадает с периметром окружности диаметра d, которая также является кривой постоянной ширины, равной d. Самым примечательным является тот факт, что это не случайное совпадение, а общий результат, одинаковый для всех подобных кривых. Можно показать, что все кривые равной постоянной ширины вне зависимости от формы имеют равный периметр.

Площадь этих кривых, даже если их ширина совпадает, изменяется в зависимости от формы фигуры. Однако треугольник Рёло занимает особое место. Его площадь, примерно равная 0,705d^2, что является минимально возможной.

Франц Рёло

Хотя кривые постоянной ширины были известны с древних времен, треугольники Рёло впервые изучил инженер и математик Франц Рёло (1829-1905), преподаватель Берлинской королевской технической академии. Он выполнил исследование всех механизмов, имевших большое значение в различные моменты истории. За огромный вклад в развитие математики, в 1912 году в Дании ему был установлен памятник.

Подготовка к ОГЭ по математике 2020 — задания 1 — 5 с подробными решениями.

Что такое треугольник Рёло ?

Треуголник Рёло – это область пересечения трех окружностей, построенных из вершин правильного треугольника. Они имеют радиус, равный стороне этого же треугольника. Он относится к разряду простых фигур (как круг), обладающих постоянной шириной. То есть если к нему провести две параллельные опорные прямые, то независимо от выбранного направления, расстояние между ними будет неизменным, в любой точке независимо от их длины.

По мнению историков, название это «непростой» простой фигуре дал немецкий механик Франц Рёло, живший с 1829 по 1905 годы. Многие историки сходятся в том, что именно он стал первооткрывателем свойств этой геометрической фигуры. Потому как он первый широко использовал свойства и возможности треугольника Рёло в своих механизмах.

Франц Рёло первым дал доскональные определения понятиям «кинетическая пара», «кинетическая цепь». Он впервые показал возможность связи между основами механики и конструирования. То есть связал теорию и практические проблемы конструирования.

Что позволило создавать механизмы в совокупности их функциональных возможностей с внешней привлекательностью/эстетичностью. Отсюда Рёло стали считать поэтом механики. Что позволило последователям в корне пересмотреть имеющиеся в ней теории.

Иные исследователи первооткрывателем этой фигуры признают Леонарда Эйлер (18 век), который уже тогда продемонстрировал возможность его создания ее из трех окружностей.

А третьи «увидели» треугольник Рёло в рукописях гениального Леонардо Да Винчи. Манускрипты этого естествоиспытателя, с изображением этой «простой» фигуры, хранятся в Мадридском кодексе и в Институте Франции.

Но кто бы ни был первооткрывателем этот «не простой» треугольник получил широкое распространение в современном мире.

А именно:
• Сверло Уаттса. В 1914 году Гарри Джеймс Уаттс изобрел уникальный инструмент для высверливания квадратных отверстий. Это сверло, выполнено в форме Треугольника Рёло;

• Двигатель Ванкеля. С 1957 года треугольник Рёло немецкий изобретатель Ванкель Ф. создал уникальный механизм. Где внутри камеры, цилиндрической формы, по сложной траектории передвигается ротор-поршень. Созданный в форме треугольника Рёло. При его постоянном движении, каждая его грань, контактируя со стенками камеры, образует сразу три камеры, названные позже «камерами сгорания».

Вот тут можно вспомнить подробный пост про двигатель Ванкеля

• Грейферный механизм кинопроекторов. Треугольник Рёло, вписанный в квадрат и двойной параллелограмм лежат в его основе. А нужен он для равномерного продергивания кинопленки во время киносеанса со скоростью в 18 кадров/с без отклонений и задержек;

• Основа кулачкового механизма для зигзагообразного шва в швейных машинках, а также в немецких часах таких известных марок как A. Lange & Söhne «Lange 31»;

• Плектр или медиатор, тоже не что иное, как треугольник Рёло. Они необходимы при игре на щипковых музыкальных инструментах.

• В архитектуре. Конструкция из двух дуг треугольника Рёло образует стрельчатую арку готического стиля. А окна в форме Рёло стоят в Брюгге в церкви Богоматери. Как орнамент он присутствует и на оконных решетках швейцарской коммуны Отрив и цистерцианского аббатства.

На самом деле Рёло не является первооткрывателем этой фигуры, хотя он и подробно исследовал её.

В частности, он рассматривал вопрос о том, сколько контактов (в кинематических парах) необходимо, чтобы предотвратить движение плоской фигуры, и на примере искривлённого треугольника, вписанного в квадрат, показал, что даже трёх контактов может быть недостаточно для того, чтобы фигура не вращалась.

Леонардо да Винчи, манускрипт A, фрагмент листа 15v

Некоторые математики считают, что первым продемонстрировал идею треугольника из равных дуг окружности Леонард Эйлер в XVIII веке. Тем не менее, подобная фигура встречается и раньше, в XV веке: её использовал в своих рукописях Леонардо да Винчи. Треугольник Рёло есть в его манускриптах A и B, хранящихся в Институте Франции[10], а также в Мадридском кодексе.

Примерно в 1514 году Леонардо да Винчи создал одну из первых в своём роде карт мира. Поверхность земного шара на ней была разделена экватором и двумя меридианами(угол между плоскостями этих меридианов равен 90°) на восемь сферических треугольников, которые были показаны на плоскости карты треугольниками Рёло, собранными по четыре вокруг полюсов.

Ещё раньше, в XIII веке, создатели церкви Богоматери в Брюгге использовали треугольник Рёло в качестве формы для некоторых окон

Следовательно, изобретенный в прошлом веке треугольник Рёло широко используется сегодня. Однако его изучение не стоит на месте. Его свойства, как характеристики простой фигуры, находится в постоянном теоретическом и практическом изучении.

Именно треугольник Рело может помочь нам в сверлении квадратных отверстий. Достаточно двигать центр этого «треугольника» по некой траектории, и его вершины начертят почти квадрат, а границы полученной фигуры, за исключением небольших кусочков по углам, будут строго прямыми! Такими, что, если продолжить отрезки, тем самым добавив уголочки, то получится в точности квадрат.Площадь незаметенных уголочков составляет всего около 2 процентов от площади всего квадрата!

А вот еще применение :

Китайский офицер Гуан Байхуа из Циндао заново изобрел колесо. Он создал необычный велосипед: вместо круглых колес у него треугольник сзади и пятиугольник спереди.

Сам изобретатель уверен, что новая модель будет пользоваться популярностью, поскольку, чтобы передвигаться на таком велосипеде, требуется больше усилий, а значит, это в какой-то степени может заменить спортивную нагрузку.

Добровольцы, опробовавшие новинку, были удивлены тем, насколько ровно передвигается велосипед с новыми колесами. Дело в том, что углы многоугольников сглажены. Это позволяет велосипеду не «прыгать» вверх-вниз, как можно было бы ожидать, поясняет со ссылкой на The Times InoPressa.ru.

Кроме того, колеса по форме являются кривыми постоянной длины, иначе называемыми «многоугольниками Рело» или «круглыми многоугольниками». Контур таких фигур представляет собой плоскую выпуклую кривую, расстояние между любыми двумя параллельными опорными прямыми которой постоянно и равно «ширине» кривой.

Несмотря на то, что новый велосипед не пользуется коммерческим успехом, Байхуа не унывает. Теперь он занят созданием новой социальной сети в интернете.

• Вот еще такое применение:

[источники]

источник

http://funnymath.ru/itsinteresting/other/273-treugolnik-rjolo

http://www.terrakid.ru/nash-blog/interesnye-izobreteniya-detej-i-vzroslykh-iz-raznykh-stran/129-chto-takoe-treugolnik-relo-ili-kak-sverlit-kvadratnye-otverstiya

http://www.newsru.com/world/27may2009/velo.html

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D1%83%D0%B3%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B8%D0%BA_%D0%A0%D1%91%D0%BB%D0%BE

Давайте я вам еще что нибудь напомню математического : вот например Самое большое число в мире и Как выиграть в игру «Орел или решка» !. А знаете, что я вам еще напомню про числа ? Вот например существует число «ФИ» , а вот волшебные ЧЕТЫРЕ ЧЕТВЕРКИ. Я вам еще рассказывал вот про такое удивительное число Шенона, ну и еще к нашей теме можно отнести закон Бенфорда и такое известие, что оказывается великая теорема Ферма ДОКАЗАНА Оригинал статьи находится на сайте ИнфоГлаз.рф Ссылка на статью, с которой сделана эта копия — http://infoglaz.ru/?p=69422

Круглый треугольник Рело / Этюды // Математические этюды

Про­ек­тор восьми­мил­лимет­ро­вой кино­плёнки «Луч-2». Именно он был в каж­дом доме, где сами снимали и смот­рели киноэтюды.

В этом мультфильме рас­ска­зы­ва­ется, как геомет­ри­че­ское поня­тие, часто изу­ча­емое на матема­ти­че­ских круж­ках, нахо­дит при­ме­не­ние в нашей повсе­днев­ной жизни.

Колесо… Окруж­ность. Одним из свойств окруж­но­сти явля­ется ее посто­ян­ная ширина. Про­ве­дём две парал­лель­ные каса­тель­ные и зафик­си­руем рас­сто­я­ние между ними. Нач­нём вращать. Кри­вая (в нашем слу­чае окруж­ность) посто­янно каса­ется обеих прямых. Это и есть опре­де­ле­ние того, что замкну­тая кри­вая имеет посто­ян­ную ширину.

Бывают ли кри­вые, отлич­ные от окруж­но­сти и имеющие посто­ян­ную ширину?

РЕЛО Франц 1829—1905

РЕЛО Франц (Reuleaux Franz) — немец­кий учё­ный. Впер­вые (1875) чётко сформу­ли­ро­вал и изложил основ­ные вопросы струк­туры и кинема­тики меха­низмов; раз­ра­ба­ты­вал про­блему эсте­тич­но­сти тех­ни­че­ских объек­тов.

Рас­смот­рим пра­виль­ный тре­уголь­ник (с рав­ными сто­ро­нами).

На каж­дой сто­роне построим дугу окруж­но­сти, ради­у­сом, рав­ным длине сто­роны. Эта кри­вая и носит имя «тре­уголь­ник Рело». Ока­зы­ва­ется, она тоже явля­ется кри­вой посто­ян­ной ширины. Как и в слу­чае окруж­но­сти про­ве­дём две каса­тель­ные, зафик­си­руем рас­сто­я­ние между ними и нач­нём их вращать.

Тре­уголь­ник Рело посто­янно каса­ется обеих прямых. Действи­тельно, одна точка каса­ния все­гда рас­по­ложена в одном из «углов» тре­уголь­ника Рело, а другая — на про­ти­вопо­лож­ной дуге окруж­но­сти. Зна­чит, ширина все­гда равна ради­усу окруж­но­стей, т. е.

длине сто­роны изна­чаль­ного пра­виль­ного тре­уголь­ника.

В житейском смысле посто­ян­ная ширина кри­вой озна­чает, что если сде­лать катки с таким профи­лем, то книжка будет катиться по ним, не шелох­нувшись.

Однако колесо с таким профи­лем сде­лать нельзя, так как её центр опи­сы­вает слож­ную линию при каче­нии фигуры по прямой.

Бывают ли какие-то ещё кри­вые посто­ян­ной ширины? Ока­зы­ва­ется, их бес­ко­нечно много.

На любом пра­виль­ном n-уголь­нике с нечёт­ным чис­лом вершин можно постро­ить кри­вую посто­ян­ной ширины по той же схеме, что был построен тре­уголь­ник Рело. Из каж­дой вершины, как из цен­тра, про­во­дим дугу окруж­но­сти на про­ти­вопо­лож­ной вершине сто­роне. В Англии монета в 20 пен­сов имеет форму кри­вой посто­ян­ной ширины, постро­ен­ной на семи­уголь­нике.

Рас­смот­рен­ные кри­вые не исчерпы­вают весь класс кри­вых посто­ян­ной ширины. Ока­зы­ва­ется, среди них бывают и несиммет­рич­ные кри­вые. Рас­смот­рим про­из­воль­ный набор пере­се­кающихся прямых. Рас­смот­рим один из сек­то­ров.

Про­ве­дём дугу окруж­но­сти про­из­воль­ного ради­уса с цен­тром в точке пере­се­че­ния прямых, опре­де­ляющих этот сек­тор. Возьмём сосед­ний сек­тор, и с цен­тром в точке пере­се­че­ния прямых, опре­де­ляющих его, про­ве­дём окруж­ность. Радиус под­би­ра­ется такой, чтобы уже нари­со­ван­ный кусок кри­вой непре­рывно про­должался.

Будем так делать дальше. Ока­зы­ва­ется, при таком постро­е­нии кри­вая замкнётся и будет иметь посто­ян­ную ширину. Докажите это!

Все кри­вые дан­ной посто­ян­ной ширины имеют оди­на­ко­вый периметр. Окруж­ность и тре­уголь­ник Рело выде­ляются из всего набора кри­вых дан­ной ширины сво­ими экс­тремаль­ными свойствами. Окруж­ность огра­ни­чи­вает мак­сималь­ную площадь, а тре­уголь­ник Рело — минималь­ную в классе кри­вых дан­ной ширины.

Тре­уголь­ник Рело часто изу­чают на матема­ти­че­ских круж­ках. Ока­зы­ва­ется, что эта геомет­ри­че­ская фигура имеет инте­рес­ные при­ложе­ния в меха­нике.

Смот­рите, это «Мазда RX-7». В отли­чие от большин­ства серий­ных машин в ней (а также в модели RX-8) стоит ротор­ный двига­тель Ван­келя.

Как же он устроен внутри? В каче­стве ротора исполь­зу­ется именно тре­уголь­ник Рело! Между ним и стен­ками обра­зуются три камеры, каж­дая из кото­рых по оче­реди явля­ется каме­рой сго­ра­ния.

Вот вспрыс­ну­лась синяя бен­зи­но­вая смесь, далее из-за движе­ния ротора она сжима­ется, поджига­ется и кру­тит ротор. Ротор­ный двига­тель лишён неко­то­рых недо­стат­ков порш­не­вого ана­лога — здесь враще­ние пере­да­ется сразу на ось и не нужно исполь­зо­вать колен­вал.

А это — грейфер­ный меха­низм. Он исполь­зо­вался в кинопро­ек­то­рах.

Двига­тели дают рав­но­мер­ное враще­ние оси, а чтобы на экране было чёт­кое изоб­раже­ние, плёнку мимо объек­тива надо про­тя­нуть на один кадр, дать ей посто­ять, потом опять резко про­тя­нуть, и так 18 раз в секунду. Именно эту задачу решает грейфер­ный меха­низм.

Он осно­ван на тре­уголь­нике Рело, впи­сан­ном в квад­рат, и двой­ном парал­ле­лограмме, кото­рый не даёт квад­рату накло­няться в сто­роны.

Действи­тельно, так как длины про­ти­вопо­лож­ных сто­рон равны, то сред­нее звено при всех движе­ниях оста­ётся парал­лель­ным осно­ва­нию, а сто­рона квад­рата — все­гда парал­лель­ной сред­нему звену. Чем ближе ось креп­ле­ния к вершине тре­уголь­ника Рело, тем более близ­кую к квад­рату фигуру опи­сы­вает зуб­чик грейфера.

Вот такие инте­рес­ные при­ме­не­ния, каза­лось бы, чисто матема­ти­че­ской задачи исполь­зуют люди.

• Этюды
• Модели
• Миниатюры
• iMath
• Лекции
• Диски
• Летопись
• О проекте

Математические этюды

https://etudes.ru/etudes/reuleaux-triangle/